الأساسيات

ما هو المثلث القائم؟

المثلث القائم هو مثلث إحدى زواياه الداخلية تساوي 90° تمامًا. الزاوية 90° هي الزاوية القائمة، والضلع المقابل لها هو الوتر، وهو أطول الأضلاع الثلاثة.

للمثلث القائم 3 أضلاع و3 زوايا، تُسمّى وفق اصطلاح تشترك فيه هذه الحاسبة ومعظم الكتب المدرسية:

  • الضلع a والضلع b هما الضلعان القائمان، وهما الضلعان غير الوتر اللذان يلتقيان عند الزاوية القائمة.
  • الضلع c هو الوتر، وهو الضلع المقابل للزاوية C.
  • الزاوية A تقابل الضلع a، والزاوية B تقابل الضلع b، والزاوية C قياسها 90°.

تكتب مصادر كثيرة الزاويتين الحادتين بالرمزين α (ألفا) وβ (بيتا)، وتستخدم θ (ثيتا) للزاوية موضع النقاش. الزاوية A وα تسميان القياس نفسه، لذا فإن الصيغة المكتوبة بـ α تصلح دون تغيير مع الزاوية A.

الشكل 1: عناصر المثلث القائم

a b c h α β B A C
يلتقي الضلعان القائمان a وb عند الزاوية القائمة C. ويقابل الوتر c تلك الزاوية القائمة. وينزل الارتفاع h من C عموديًا على c.

قاعدتان تتحققان في كل مثلث قائم:

  • الزاويتان الحادتان متتامتان، أي أن الزاوية A + الزاوية B = 90°. مجموع الزوايا الثلاث 180°، والزاوية C تأخذ منه 90° بالفعل.
  • الأضلاع الثلاثة تحقق نظرية فيثاغورس، أي a² + b² = c². والعلاقة صحيحة في الاتجاه المعاكس أيضًا: المثلث الذي يساوي مربع أطول أضلاعه مجموع مربعي الضلعين الآخرين هو مثلث قائم.

يكون المثلث القائم مختلف الأضلاع إذا اختلفت أطوال أضلاعه الثلاثة، ومتساوي الساقين إذا تساوى الضلعان القائمان، مما يجعل الزاويتين الحادتين 45°. ولا يوجد مثلث قائم متساوي الأضلاع، لأن تساوي الأضلاع يتطلب ثلاث زوايا قياس كل منها 60°.

المثلث القائم الذي أطوال أضلاعه الثلاثة أعداد صحيحة هو مثلث فيثاغوري، وتشكل أطواله الثلاثة ثلاثية فيثاغورية مثل 3، 4، 5 أو 5، 12، 13.

يمتد الارتفاع h من رأس الزاوية القائمة عموديًا على الوتر. ويقسم الارتفاع المثلث الأصلي إلى مثلثين أصغر، كل منهما مشابه للآخر وللمثلث الذي نشأ منه.

المثلثات القائمة هي أساس علم المثلثات. تُعرَّف دوال الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام بأنها نسب بين أطوال أضلاع المثلث القائم، ولهذا تصلح حاسبة أضلاع وزوايا المثلث القائم أداةً لحساب الدوال المثلثية أيضًا.

استخدام الأداة

كيفية استخدام حاسبة المثلث القائم

  1. اختر تبويبًا. حل المثلث يتعامل مع كل تركيبات المدخلات، ونظرية فيثاغورس يقصر الحقول على الأضلاع الثلاثة، ومثلثات خاصة يحسب مثلث 30-60-90 أو 45-45-90 من قياس واحد.
  2. اكتب القيمة المعلومة الأولى في حقلها: الضلع a، أو الضلع b، أو الضلع c، أو الزاوية A، أو الزاوية B، أو المساحة.
  3. اكتب القيمة المعلومة الثانية. يُعاد رسم الشكل بمقياس صحيح وتمتلئ كل الحقول المتبقية فورًا.
  4. اقرأ النتائج: أطوال الأضلاع المجهولة، والزاويتان الحادتان، والمساحة، والمحيط، والارتفاع، ونصف قطر الدائرة الداخلية، ونصف قطر الدائرة الخارجية.
  5. اسحب أيًّا من المقبضين البنفسجيين على الرسم لإعادة تشكيل المثلث، أو اضغط مفاتيح الأسهم لإجراء تغييرات بخطوة واحدة. واضبط عنصر التحكم في المنازل العشرية على 0 أو 2 أو 4 أو 6 منازل.

تقبل الحاسبة 6 تركيبات من المدخلات:

  • الضلعان القائمان: الضلع a والضلع b
  • ضلع قائم والوتر: الضلع a والضلع c، أو الضلع b والضلع c
  • ضلع قائم وزاوية حادة: الضلع a والزاوية A، أو الضلع b والزاوية B
  • الوتر وزاوية حادة: الضلع c والزاوية A، أو الضلع c والزاوية B
  • ضلع قائم والمساحة
  • الوتر والمساحة

الزاويتان هما الزوج الوحيد الذي ترفضه الحاسبة. تحدد الزاوية A والزاوية B شكل المثلث ولا تقولان شيئًا عن حجمه، لذا تحققهما مثلثات لا نهاية لعددها.

الوحدات من اختيارك. الحاسبة لا ترتبط بوحدة معينة: أدخل 5 تقرأ 5، بالبوصة أو السنتيمتر أو القدم أو المتر، ما دامت كل الأطوال بالوحدة نفسها. وتر طوله 13 ft (3.96 m) وضلع قائم طوله 5 ft (1.52 m) يعطيان ضلعًا قائمًا ثانيًا طوله 12 ft (3.66 m). الزوايا بالدرجات. وللتحويل إلى الراديان، اضرب في π/180: فـ 45° تساوي π/4 rad، و60° تساوي π/3 rad، و90° تساوي π/2 rad.

أطوال الأضلاع

كيفية إيجاد الضلع المجهول في المثلث القائم

لإيجاد الضلع المجهول في المثلث القائم، طبّق نظرية فيثاغورس عندما يكون ضلعان معلومين، أو نسبة مثلثية عندما يكون ضلع واحد وزاوية حادة واحدة معلومين. هناك 3 نقاط انطلاق، ولكل منها صيغتها الخاصة.

إيجاد الوتر باستخدام ضلعين

لإيجاد الوتر من الضلعين القائمين، اجمع مربعي الضلعين القائمين وخذ الجذر التربيعي.

c = √(a² + b²)

هذه الصيغة هي نظرية فيثاغورس بعد إعادة ترتيبها لإيجاد c. تربيع الضلع القائم يعطي مساحة مربع مبني على ذلك الضلع، والمربعان الأصغران معًا يساويان المربع المبني على الوتر.

الشكل 2: نظرية فيثاغورس بالمساحات

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5
مربع مرسوم على كل ضلع من أضلاع مثلث 3-4-5. يضم المربعان الأصغران 9 و16 وحدة مربعة، ومجموعهما يساوي 25 وحدة مربعة في المربع الأكبر.

مثال محلول

ضلع قائم طوله 3 in (7.62 cm) وضلع قائم طوله 4 in (10.16 cm) يعطيان وترًا طوله 5 in (12.7 cm).

c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in

إيجاد ضلع قائم باستخدام الوتر وضلع واحد

لإيجاد ضلع قائم من الوتر والضلع القائم الآخر، اطرح مربع الضلع القائم المعلوم من مربع الوتر وخذ الجذر التربيعي.

a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)

مثال محلول

وتر طوله 13 cm (5.12 in) وضلع قائم طوله 5 cm (1.97 in) يعطيان ضلعًا قائمًا ثانيًا طوله 12 cm (4.72 in).

b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm

يجب أن يكون الوتر أطول من كل ضلع قائم. قيمة c الأصغر من ضلع قائم معلوم أو المساوية له تنتج عددًا سالبًا تحت الجذر التربيعي، فتُبلغ الحاسبة عن هذا التعارض بدلًا من إعادة رقم.

إيجاد ضلع باستخدام زاوية

لإيجاد ضلع من زاوية وضلع واحد معلوم، اختر النسبة المثلثية التي تربط بينهما. هناك 6 صيغ، والصيغة المناسبة تعتمد على الضلع الذي تعرفه.

a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α)

مثال محلول

وتر طوله 10 m (32.81 ft) مع α = 30° يعطي الضلعين القائمين مباشرة.

a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m

قانون الجيوب يصل إلى النتائج نفسها. في أي مثلث a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)، وفي المثلث القائم sin(C) = sin(90°) = 1، مما يختزل قانون الجيوب إلى c = a / sin(A). حساب المثلثات في المثلث القائم اختصار، وليس نظامًا منفصلًا.

إذا كانت المساحة وضلع قائم واحد معلومين بدلًا من زاوية، فاقسم ضعف المساحة على الضلع القائم المعلوم. المثلث القائم مثلث مختلف الأضلاع يعمل أحد ضلعيه القائمين قاعدةً والآخر ارتفاعًا، لذا تُبسَّط صيغة مساحة المثلث إلى area = a × b / 2، ومنها b = 2 × area / a.

الزوايا

كيفية إيجاد زوايا المثلث القائم

لإيجاد زوايا المثلث القائم، طبّق دالة مثلثية عكسية على النسبة بين ضلعين معلومين. الزاوية C ثابتة عند 90°، لذا تكفي عملية حسابية واحدة لحسم المثلث: الزاوية الحادة الثانية هي متممة الأولى.

بمعلومية β: α = 90° - βبمعلومية α: β = 90° - α

الدالة التي تستخدمها تعتمد على الضلعين اللذين تعرفهما. تُسمّى النسب الأساسية الثلاث بالنسبة إلى الزاوية التي تحلها، وهذا هو معنى SOHCAHTOA: الجيب هو المقابل على الوتر، وجيب التمام هو المجاور على الوتر، والظل هو المقابل على المجاور.

الشكل 3: تسمية الأضلاع بالنسبة إلى زاوية

المقابل (a) المجاور (b) الوتر (c) θ
يتغير اسم الضلع نفسه بحسب الزاوية المدروسة. بالقياس من θ، يكون الضلع a مقابلًا، والضلع b مجاورًا، ويبقى الضلع c هو الوتر.

إيجاد زاوية باستخدام الجيب

لإيجاد زاوية من الضلع المقابل والوتر، اقسم الضلع المقابل على الوتر وخذ معكوس الجيب (arcsin).

sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c)

مثال محلول

ضلع a طوله 5 ووتر c طوله 13 يعطيان زاوية α قياسها 22.62°.

sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

إيجاد زاوية باستخدام جيب التمام

لإيجاد زاوية من الضلع المجاور والوتر، اقسم الضلع المجاور على الوتر وخذ معكوس جيب التمام (arccos).

cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c)

مثال محلول

ضلع b طوله 12 ووتر c طوله 13 يعطيان الزاوية α نفسها بقياس 22.62°.

cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62°

إيجاد زاوية باستخدام الظل

لإيجاد زاوية من الضلعين القائمين، اقسم الضلع القائم المقابل على الضلع القائم المجاور وخذ معكوس الظل (arctan). الظل هو النسبة التي تلجأ إليها عندما يكون الوتر مجهولًا، لأنه يستخدم الضلعين غير الوتر.

tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b)

مثال محلول

ضلعان قائمان طولهما 5 و12 يعطيان زاوية α قياسها 22.62° وزاوية β قياسها 67.38°.

tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38°

معكوس الجيب ومعكوس جيب التمام ومعكوس الظل ومعكوس ظل التمام تعطي كلها الزاوية نفسها للمثلث نفسه. اختر الدالة التي تعرف ضلعيها، وستتحقق الحاسبة من القيمة مقابل النسب الأخرى. لقاعدة الاختيار بالتفصيل راجع شرح SOHCAHTOA، ولطريقة إيجاد الزاوية نفسها راجع إيجاد زاوية بالدوال المثلثية العكسية.

النسب المثلثية للزوايا القياسية

قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا التي ستصادفها على الأرجح.

قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا التي ستصادفها على الأرجح.
الزاوية جا جتا ظا
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

الحلول الكاملة

كيفية حل المثلث القائم

لحل المثلث القائم، احسب القياسات الستة كلها (3 أضلاع و3 زوايا) من قيمتين معلومتين. الزاوية C معلومة مسبقًا بقياس 90°، فيتبقى 5 مجاهيل ومعطيان اثنان.

حل المثلث القائم بمعلومية ضلعين

لحل المثلث القائم من ضلعين، نفّذ ثلاث خطوات بالترتيب.

  1. أوجد الضلع الثالث باستخدام نظرية فيثاغورس.
  2. أوجد الزاوية A بدالة مثلثية عكسية لضلعين معلومين.
  3. أوجد الزاوية B بطرح الزاوية A من 90°.

مثال محلول

وتر طوله 13 in (33.02 cm) وضلع قائم a طوله 5 in (12.7 cm) يحلان المثلث بالكامل:

b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

المثلث أضلاعه 5 و12 و13 وزواياه 22.62° و67.38° و90°.

حل المثلث القائم بمعلومية ضلع واحد وزاوية واحدة

لحل المثلث القائم من ضلع واحد وزاوية حادة واحدة، أوجد الزاوية الثانية أولًا، ثم استخدم نسبة مثلثية لكل ضلع مجهول.

  1. اطرح الزاوية الحادة المعلومة من 90° للحصول على الزاوية الحادة الأخرى.
  2. اضرب الضلع المعلوم في الجيب أو جيب التمام أو الظل، أو اقسمه عليها، للوصول إلى كل ضلع مجهول.
  3. تحقق من النتيجة باستخدام نظرية فيثاغورس.

مثال محلول

وتر طوله 10 m (32.81 ft) وزاوية α قياسها 30° يحلان المثلث بالكامل:

β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mتحقق: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10²

هل يمكن حل المثلث القائم بمعلومية ضلع واحد فقط؟

لا، ضلع واحد وحده لا يكفي لحل المثلث القائم. الطول الواحد يحدد مقياس المثلث ويترك شكله مفتوحًا، لذا تشترك في ذلك الضلع مثلثات قائمة لا نهاية لعددها. أضف إلى الضلع إحدى الزاويتين غير القائمتين، فيصبح المثلث قابلًا للحل عبر 6 طرق:

  1. اضرب الوتر في sin(θ) للحصول على طول الضلع المقابل للزاوية.
  2. اضرب الوتر في cos(θ) للحصول على الضلع المجاور للزاوية.
  3. اقسم الضلع المجاور غير الوتر على cos(θ) للحصول على الوتر.
  4. اضرب الضلع المجاور في tan(θ) للحصول على الضلع المقابل للزاوية.
  5. اقسم الضلع المقابل على sin(θ) للحصول على الوتر.
  6. اقسم الضلع المقابل على tan(θ) للحصول على الضلع المجاور للزاوية.

الضلع الواحد مع المساحة يصلحان زوجًا أيضًا. أدخلهما في الحاسبة فينتج الضلع القائم الثاني من area = a × b / 2، ثم يأتي الوتر من نظرية فيثاغورس.

القيم المشتقة

قياسات المثلث القائم

يعطي المثلث القائم المحلول 5 قياسات مشتقة إلى جانب أضلاعه وزواياه: المساحة، والمحيط، والارتفاع، ونصف قطر الدائرة الداخلية، ونصف قطر الدائرة الخارجية. وتعرض الحاسبة القياسات الخمسة كلها مع أطوال الأضلاع.

مساحة المثلث القائم

لإيجاد مساحة المثلث القائم، اضرب الضلعين القائمين واقسم على 2. الضلعان القائمان متعامدان، لذا يعمل أحدهما قاعدةً والآخر ارتفاعًا.

area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2

مثلث ضلعاه القائمان 6 cm (2.36 in) و8 cm (3.15 in) مساحته 24 cm² (3.72 in²). الصيغة الثانية تستخدم الوتر قاعدةً والارتفاع ارتفاعًا، وتعطي الرقم نفسه تمامًا.

محيط المثلث القائم

لإيجاد محيط المثلث القائم، اجمع أطوال الأضلاع الثلاثة.

P = a + b + c

مثلث 3-4-5 مقيس بالأقدام محيطه 12 ft (3.66 m). وإذا عُلم الضلعان القائمان فقط، فاحسب الوتر أولًا، لأن المحيط يحتاج إلى الأضلاع الثلاثة كلها.

ارتفاع المثلث القائم

ارتفاع المثلث القائم هو المسافة العمودية من رأس الزاوية القائمة إلى الوتر. اضرب الضلعين القائمين واقسم على الوتر.

h = (a × b) / c

يقسم الارتفاع الوتر إلى قطعتين، p وq، وينشئ مثلثين أصغر مشابهين للمثلث الأصلي. وتنتج عن هذا التشابه ثلاث علاقات للوسط الهندسي، مفصلة بالكامل في دليل نظرية ارتفاع المثلث القائم.

h² = p × qa² = p × cb² = q × c

الشكل 4: الارتفاع وقطعتاه

a b h q p
يلتقي الارتفاع h بالوتر بزاوية قائمة ويقسمه إلى القطعتين p وq. وكل مثلث أصغر مشابه للمثلث الأصلي.

نصف قطر الدائرة الداخلية ونصف قطر الدائرة الخارجية

نصف قطر الدائرة الداخلية r هو نصف قطر أكبر دائرة تتسع داخل المثلث، ونصف قطر الدائرة الخارجية R هو نصف قطر الدائرة المارة بالرؤوس الثلاثة.

r = (a + b - c) / 2R = c / 2

نصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث القائم يساوي دائمًا نصف الوتر، لأن الوتر قطر في الدائرة المحيطة. مثلث 3-4-5 نصف قطر دائرته الداخلية 1 ونصف قطر دائرته الخارجية 2.5.

المساحة
6
المحيط
12
الارتفاع
2.4
نصف قطر الدائرة الداخلية
1
نصف قطر الدائرة الخارجية
2.5

القياسات المشتقة الخمسة لمثلث قائم 3-4-5.

مرجع

المثلثات القائمة الخاصة

هناك 4 مثلثات قائمة تستحق الحفظ: مثلث 30-60-90، ومثلث 45-45-90، ومثلث 3-4-5، ومثلث 5-12-13. الأولان لهما مجموعتا زوايا ثابتتان ونسب أضلاع ثابتة، والأخيران ثلاثيتان فيثاغوريتان أضلاعهما أعداد صحيحة. ويقارن دليل المثلثات القائمة الخاصة بين الأولين جنبًا إلى جنب.

مثلث 30-60-90

أضلاع مثلث 30-60-90 بنسبة 1 : √3 : 2. أقصر ضلع يقابل الزاوية 30°، والضلع الأوسط يقابل الزاوية 60°، والوتر يقابل الزاوية القائمة وطوله ضعف أقصر ضلع تمامًا.

الشكل 5: مثلث 30-60-90

1 √3 2 30° 60°
نصف مثلث متساوي الأضلاع. قياس واحد يحدد الأضلاع الثلاثة، لأن النسبة 1 : √3 : 2 لا تتغير أبدًا.

معرفة ضلع واحد من مثلث 30-60-90 تحدد الضلعين الآخرين. ضلع قائم قصير طوله 5 cm (1.97 in) يعطي ضلعًا قائمًا طويلًا طوله 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) ووترًا طوله 10 cm (3.94 in). ويُستخدم هذا المثلث لحساب الدوال المثلثية لمضاعفات π/6، ومنه تأتي القيم الدقيقة sin(30°) = 1/2 وcos(30°) = √3/2.

مثلث 45-45-90

أضلاع مثلث 45-45-90 بنسبة 1 : 1 : √2. الضلعان القائمان متساويان في الطول، مما يجعله المثلث القائم متساوي الساقين ويمنحه محور تماثل واحدًا.

الشكل 6: مثلث 45-45-90

1 1 √2 45° 45°
المثلث القائم متساوي الساقين. تساوي الضلعين القائمين يجعل الزاويتين الحادتين 45°، ويبلغ طول الوتر a√2.

في مثلث 45-45-90، ضلع قائم طوله 5 in (12.7 cm) يعطي وترًا طوله 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). ووتر طوله 5 يعمل في الاتجاه المعاكس: اقسم على √2 لتحصل على ضلعين قائمين طول كل منهما 3.54. ويحسب مثلث 45-45-90 الدوال المثلثية لمضاعفات π/4، حيث يساوي كل من sin(45°) وcos(45°) القيمة √2/2.

المثلث القائم 3-4-5

مثلث 3-4-5 هو أصغر ثلاثية فيثاغورية، وزاويتاه الحادتان 36.87° و53.13°. أضلاعه ذات الأعداد الصحيحة تجعله الطريقة المعتادة للتحقق من الزاوية القائمة في موقع البناء، وهي طريقة يشرحها دليل قاعدة المثلث 3-4-5.

الشكل 7: مثلث 3-4-5 على شبكة وحدات

3 4 5 36.87° 53.13°
ثلاث وحدات إلى الأعلى، وأربع وحدات أفقيًا، وخمس وحدات على طول الوتر. كل مضاعف لـ 3-4-5، مثل 6-8-10 أو 30-40-50، هو مثلث قائم أيضًا.

المثلث القائم 5-12-13

مثلث 5-12-13 هو ثاني أصغر ثلاثية فيثاغورية، وزاويتاه الحادتان 22.62° و67.38°. أضلاعه تحقق 25 + 144 = 169، وشكله الضيق يناسب أعمال التخطيط حين يكون مثلث 3-4-5 أعرض من المساحة المتاحة.

الشكل 8: مثلث 5-12-13

5 12 13 22.62° 67.38°
ثلاثية فيثاغورية طويلة وضيقة، فيها زاوية 22.62° عند الطرف البعيد من الوتر.

تكبير الثلاثية يحافظ على الزاوية القائمة. اضرب 3-4-5 في 10 لتحصل على 30-40-50، أو 5-12-13 في 2 لتحصل على 10-24-26، ويبقى كلاهما مثلثًا قائمًا بالزوايا الحادة نفسها. وتوجد قائمة مرجعية أشمل في دليل الثلاثيات الفيثاغورية.

جدول بالمثلثات القائمة الشائعة مع أضلاعها وزواياها الحادة ومساحاتها.
المثلث الضلع القائم a الضلع القائم b الوتر الزاوية A الزاوية B المساحة المساحة النسبية
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

أي مضاعف لثلاثية فيثاغورس هو ثلاثية بدوره - اضرب 3-4-5 في عشرة فيبقى 30-40-50 مثلثًا قائمًا تامًا.

التطبيقات

استخدامات المثلثات القائمة في الحياة الواقعية

تظهر هندسة المثلث القائم حيثما يلزم حساب ارتفاع أو مسافة أو زاوية دون قياسها مباشرة. هناك 4 مجالات تعتمد عليها يوميًا: البناء، والهندسة، والملاحة، وتحسين المنازل. وقد جُمعت حالات محلولة في مسائل كلامية على المثلث القائم.

الشكل 9: ثلاثة مثلثات قائمة من الحياة اليومية

الارتفاع الامتداد ميل السقف الارتفاع القاعدة السلم زاوية السلم الارتفاع الامتداد المنحدر ميل المنحدر
ميل السقف، ووضع السلم، وانحدار المنحدر، يرجع كل منها إلى مثلث قائم واحد بقيمتين معلومتين.

البناء والعمارة

يستخدم البناؤون المثلثات القائمة لضبط استقامة الزوايا، وتحديد ميل السقف، وقص دعامات السلالم. طريقة 3-4-5 تضبط زاوية الإطار دون زاوية نجار: قِس 3 ft (0.91 m) على حافة، و4 ft (1.22 m) على الحافة الأخرى، وعدّل حتى يبلغ القطر 5 ft (1.52 m) تمامًا.

ميل السقف هو الارتفاع مقسومًا على الامتداد الأفقي للسقف، وطول العارضة هو وتر ذلك المثلث. ارتفاع 6 in لكل 12 in من الامتداد (152 mm لكل 305 mm) يعطي عارضة طولها √(6² + 12²) = 13.42 in لكل قدم من الامتداد وزاوية ميل قياسها arctan(6 / 12) = 26.57°.

الهندسة والفيزياء

يحلل المهندسون القوى والسرعات إلى مركبات متعامدة باستخدام المثلثات القائمة. قوة مقدارها 200 N مؤثرة بزاوية 35° فوق الأفقي تتحلل إلى مركبة أفقية مقدارها 200 × cos(35°) = 163.8 N ومركبة رأسية مقدارها 200 × sin(35°) = 114.7 N.

حسابات الميل تتبع النمط نفسه. منحدر الكراسي المتحركة المبني بميل 1:12 يرتفع 1 in لكل 12 in من الامتداد (25.4 mm لكل 305 mm)، أي بزاوية arctan(1 / 12) = 4.76°.

الملاحة والمساحة

يقيس المساحون زاوية الارتفاع أو الانخفاض ويحولونها إلى ارتفاع أو مسافة. الوقوف على بعد 50 m (164 ft) من برج بزاوية ارتفاع 32° يضع قمة البرج على ارتفاع 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) فوق مستوى العين.

يُجزِّئ حساب المضلعات المساحية كل ضلع مساحي إلى مركبتين شمالية جنوبية وشرقية غربية بالجيب وجيب التمام، ثم يجمعها. ويستخدم الطيارون والبحارة الطريقة نفسها لتحويل الاتجاه والمسافة إلى تغير في خط العرض وخط الطول.

الأعمال اليدوية وتحسين المنزل

تلجأ المشاريع المنزلية إلى المثلثات القائمة حين يكون القطر مهمًا. قطر المستطيل هو وتر مثلثين قائمين، لذا فإن فتحة أبعادها 40 in في 30 in (101.6 cm في 76.2 cm) قطرها √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).

مقارنة ذلك القطر بالقطر المقابل له هي أسرع طريقة للتأكد من أن الإطار أو السطح الخشبي أو الأرضية المبلطة قائم الزوايا. تساوي القطرين يعني زوايا قائمة. وتساعد المثلثات القائمة أيضًا في تحديد مقاس حامل التلفاز الجداري، ودعامة حوض الحديقة، وزاوية قص قطعة الإطار المشطوفة.

أسئلة

الأسئلة الشائعة

ما اسم أطول ضلع في المثلث القائم؟

أطول ضلع في المثلث القائم يُسمى الوتر. يقع الوتر مقابل الزاوية 90° ويُرمز له بالضلع c. ويُستنتج طوله من الضلعين القائمين بالعلاقة c = √(a² + b²)، ولذلك يكون أطول من الضلع a والضلع b في كل مثلث قائم.

كم محور تماثل للمثلث القائم؟

للمثلث القائم 1 محور تماثل إذا كان متساوي الساقين، وله 0 محور تماثل في كل حالة أخرى. وحالة تساوي الساقين هي المثلث 45-45-90، حيث يتساوى الضلعان القائمان في الطول ويمتد محور التماثل من الزاوية القائمة إلى منتصف الوتر. أما المثلث القائم المختلف الأضلاع مثل 3-4-5 فليس له أي محور تماثل.

كيف أجد وتر المثلث القائم؟

لإيجاد الوتر، خذ الجذر التربيعي لمجموع مربعَي الضلعين القائمين: c = √(a² + b²). فلضلعين قائمين طولهما 3 و4 يكون c = √(9 + 16) = √25 = 5. وإذا كان المعطى ضلعًا قائمًا وزاوية حادة بدلًا من ضلعين، فاستخدم c = a / sin(α) أو c = b / cos(α).

هل يمكن أن يكون للمثلث القائم ضلعان متساويان؟

نعم، يمكن أن يكون للمثلث القائم ضلعان متساويان. فقد يتساوى الضلعان القائمان، وينتج عن ذلك المثلث القائم المتساوي الساقين 45-45-90، الذي وتره a√2 وزاويتاه الحادتان 45°. أما الأضلاع الثلاثة فلا يمكن أن تتساوى، لأن تساوي الأضلاع يفرض ثلاث زوايا قياس كل منها 60°، بينما يحتاج المثلث القائم إلى زاوية قياسها 90°.

هل جميع المثلثات القائمة متشابهة؟

لا، ليست جميع المثلثات القائمة متشابهة. فلا يتشابه مثلثان قائمان إلا إذا تطابقت زواياهما الحادة، أو بصيغة مكافئة إذا تساوت نسبة ضلعين متناظرين. والمثلث 30-60-90 والمثلث 45-45-90 كلاهما مثلث قائم وليسا متشابهين، لأن نسب أضلاعهما 1:√3:2 و1:1:√2 مختلفة.