تخطَّ إلى المحتوى الرئيسي

حلّال هندسي تفاعلي

حاسبة المثلث القائم

قيمتان تدخلان. مثلث كامل يخرج.

أدخل أي قيمتين معلومتين وستحلّ الحاسبة المثلث القائم بالكامل نيابة عنك - كلا الضلعين القائمين، والوتر، والزاويتين الحادتين، والمساحة، والمحيط، والارتفاع. يُعاد رسم الشكل بمقياس صحيح أثناء الكتابة، ويمكنك سحب المثلث نفسه لاستكشاف كيفية استجابة كل قياس.

رسم مباشر

مرسوم بمقياس صحيح
رسم مباشر a b c 90°

اسحب أيًّا من المقبضين البنفسجيين لإعادة تشكيل المثلث. استخدم مفاتيح الأسهم لإجراء تعديلات دقيقة بخطوة واحدة.

جرّب مثلثًا كلاسيكيًا

قياساتك

وحدة
وحدة
وحدة
°
°
وحدة²
ثابتة عند 90°

النتائج المشتقة

المحيط
- وحدة
المساحة
- وحدة²
الارتفاع h
- وحدة
نصف قطر الدائرة الداخلية r
- وحدة
نصف قطر الدائرة الخارجية R
- وحدة

كيفية استخدام الحاسبة

  1. 1 أدخل ما تعرفه اكتب أي قيمتين - ضلعين، أو ضلعًا وزاوية حادة، أو ضلعًا والمساحة.
  2. 2 اقرأ الحل الكامل يُملأ فورًا كل ضلع وزاوية وكمية مشتقة متبقية، مقرّبًا إلى الدقة التي اخترتها.
  3. 3 اسحب للاستكشاف أمسك مقبضًا على الرسم لإعادة تشكيل المثلث وشاهد الأرقام تتغير في الوقت الفعلي.

تُحسب كل القيم داخل متصفحك. ولا يُرفع أي شيء تكتبه ولا يُسجَّل ولا يُخزَّن.

كل ما تحسبه لك الحاسبة

الصيغ التي تقف وراء النتائج

يتحدد المثلث القائم بقياسين مستقلين فقط. وبمجرد إدخالهما، تنتج كل كمية أخرى من نظرية فيثاغورس والنسب المثلثية الأساسية. وفيما يلي ما يحدث تمامًا خلف الرسم.

نظرية فيثاغورس

c² = a² + b²

مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين. وبإعادة ترتيبها تحصل على أي ضلع مجهول: c = √(a² + b²)، a = √(c² − b²)، b = √(c² − a²).

النسب المثلثية

sin A = a / c · cos A = b / c · tan A = a / b

الجيب هو المقابل على الوتر، وجيب التمام هو المجاور على الوتر، والظل هو المقابل على المجاور. واستخدم معكوساتها (asin وacos وatan) لاستخراج زاوية من ضلعين.

الزاويتان المتتامتان

A + B = 90°

مجموع الزاويتين الحادتين يساوي 90° دائمًا، لأن الزاوية الثالثة هي الزاوية القائمة. فإذا عرفت إحدى الزاويتين الحادتين عرفت الأخرى فورًا.

المساحة والمحيط

Area = (a · b) / 2 · P = a + b + c

الضلعان القائمان متعامدان، لذا يعملان قاعدةً وارتفاعًا. أما المحيط فهو ببساطة مجموع الأضلاع الثلاثة.

الارتفاع النازل على الوتر

h = (a · b) / c

الارتفاع المرسوم من الزاوية القائمة إلى الوتر يقسم المثلث إلى مثلثين أصغر مشابهين للمثلث الأصلي.

نصف قطر الدائرة الداخلية والخارجية

r = (a + b − c) / 2 · R = c / 2

الدائرة المحيطة بالمثلث القائم يكون الوتر قطرًا لها دائمًا - وهي نتيجة مباشرة لنظرية طاليس.

المنهجية

كيف تعمل حاسبة المثلث القائم

لا يخمّن الحلّال أبدًا. فهو يختار المتطابقة الدقيقة التي تناسب زوج القيم الذي أدخلته، ثم يشتق كل شيء آخر من النتيجة.

  1. 1

    يتتبع آخر إدخالين لك

    للمثلث القائم درجتا حرية بالضبط. تتذكر الحاسبة آخر حقلين لمستهما وتعاملهما بوصفهما الزوج المعلوم، بحيث يُحترم إدخالك الأحدث دائمًا.

  2. 2

    يختار المتطابقة الصحيحة

    الضلعان القائمان يقودان إلى نظرية فيثاغورس. والضلع مع الزاوية يقودان إلى الجيب أو جيب التمام أو الظل. والضلع مع المساحة يقودان إلى علاقة القاعدة والارتفاع. ولكل حالة حل مغلق الصيغة - بلا تكرار ولا تقريب.

  3. 3

    يتحقق من الصحة قبل الرسم

    الوتر الأقصر من أحد الضلعين القائمين، أو الطول غير الموجب، أو الزاوية الحادة خارج النطاق 0°–90° تُرفض برسالة واضحة بدلًا من نتيجة مضللة.

  4. 4

    يعيد الرسم بمقياس صحيح

    يُعاد بناء رسم SVG من المثلث المحلول عند كل تغيير، مع الحفاظ على النسب الحقيقية، بحيث يبدو مثلث 3-4-5 مثلثَ 3-4-5 فعلًا.

كل شيء يعمل محليًا في متصفحك. ولا يُرفع أي قياس تكتبه إلى أي خادم.

بيانات مرجعية

المثلثات القائمة الشائعة في لمحة

ثلاثيات فيثاغورس والمثلثان الخاصان اللذان يظهران في كل امتحان هندسة تقريبًا. يوضح الشريط مساحة كل مثلث نسبةً إلى أكبر مدخل في الجدول.

جدول بالمثلثات القائمة الشائعة مع أضلاعها وزواياها الحادة ومساحاتها.
المثلث الضلع القائم a الضلع القائم b الوتر الزاوية A الزاوية B المساحة المساحة النسبية
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

أي مضاعف لثلاثية فيثاغورس هو ثلاثية بدوره - اضرب 3-4-5 في عشرة فيبقى 30-40-50 مثلثًا قائمًا تامًا.

النسب المثلثية للزوايا القياسية

قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا التي ستصادفها على الأرجح.

قيم الجيب وجيب التمام والظل للزوايا التي ستصادفها على الأرجح.
الزاوية جا جتا ظا
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

أسئلة

الأسئلة الشائعة

أكثر ما يسأل عنه الناس بشأن حل المثلثات القائمة.

ما اسم أطول ضلع في المثلث القائم؟

أطول ضلع في المثلث القائم يُسمى الوتر. يقع الوتر مقابل الزاوية 90° ويُرمز له بالضلع c. ويُستنتج طوله من الضلعين القائمين بالعلاقة c = √(a² + b²)، ولذلك يكون أطول من الضلع a والضلع b في كل مثلث قائم.

كم محور تماثل للمثلث القائم؟

للمثلث القائم 1 محور تماثل إذا كان متساوي الساقين، وله 0 محور تماثل في كل حالة أخرى. وحالة تساوي الساقين هي المثلث 45-45-90، حيث يتساوى الضلعان القائمان في الطول ويمتد محور التماثل من الزاوية القائمة إلى منتصف الوتر. أما المثلث القائم المختلف الأضلاع مثل 3-4-5 فليس له أي محور تماثل.

كيف أجد وتر المثلث القائم؟

لإيجاد الوتر، خذ الجذر التربيعي لمجموع مربعَي الضلعين القائمين: c = √(a² + b²). فلضلعين قائمين طولهما 3 و4 يكون c = √(9 + 16) = √25 = 5. وإذا كان المعطى ضلعًا قائمًا وزاوية حادة بدلًا من ضلعين، فاستخدم c = a / sin(α) أو c = b / cos(α).

هل يمكن أن يكون للمثلث القائم ضلعان متساويان؟

نعم، يمكن أن يكون للمثلث القائم ضلعان متساويان. فقد يتساوى الضلعان القائمان، وينتج عن ذلك المثلث القائم المتساوي الساقين 45-45-90، الذي وتره a√2 وزاويتاه الحادتان 45°. أما الأضلاع الثلاثة فلا يمكن أن تتساوى، لأن تساوي الأضلاع يفرض ثلاث زوايا قياس كل منها 60°، بينما يحتاج المثلث القائم إلى زاوية قياسها 90°.

هل جميع المثلثات القائمة متشابهة؟

لا، ليست جميع المثلثات القائمة متشابهة. فلا يتشابه مثلثان قائمان إلا إذا تطابقت زواياهما الحادة، أو بصيغة مكافئة إذا تساوت نسبة ضلعين متناظرين. والمثلث 30-60-90 والمثلث 45-45-90 كلاهما مثلث قائم وليسا متشابهين، لأن نسب أضلاعهما 1:√3:2 و1:1:√2 مختلفة.

قيمتان تدخلان. مثلث كامل يخرج.

حلّ أي مثلث قائم الزاوية فورًا. أدخل قيمتين معلومتين واحصل على كل الأضلاع والزوايا والمساحة والمحيط والارتفاع مع رسم تفاعلي مباشر قابل للسحب.

افتح الحاسبة