Fundamentos
¿Qué es un triángulo rectángulo?
Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo interior de exactamente 90°. El ángulo de 90° es el ángulo recto, y el lado opuesto a él es la hipotenusa, el más largo de los tres lados.
Un triángulo rectángulo tiene 3 lados y 3 ángulos, nombrados según una convención que comparten esta calculadora y la mayoría de los libros de texto:
- El lado a y el lado b son los catetos, los dos lados que no son la hipotenusa y que se unen en el ángulo recto.
- El lado c es la hipotenusa, el lado opuesto al ángulo C.
- El ángulo A está frente al lado a, el ángulo B está frente al lado b, y el ángulo C mide 90°.
Muchas fuentes escriben los dos ángulos agudos como α (alfa) y β (beta), y usan θ (theta) para el ángulo que se esté estudiando. El ángulo A y α nombran la misma medida, así que una fórmula escrita con α funciona sin cambios con el ángulo A.
Figura 1: Anatomía de un triángulo rectángulo
Dos reglas se cumplen en todo triángulo rectángulo:
- Los dos ángulos agudos son complementarios, así que ángulo A + ángulo B = 90°. Los tres ángulos suman 180° y el ángulo C ya ocupa 90° de ese total.
- Los tres lados cumplen el teorema de Pitágoras, a² + b² = c². La relación también se cumple a la inversa: un triángulo cuyo lado más largo al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos es rectángulo.
Un triángulo rectángulo es escaleno cuando sus tres lados tienen longitudes distintas, e isósceles cuando los dos catetos coinciden, lo que obliga a que ambos ángulos agudos midan 45°. Ningún triángulo rectángulo es equilátero, porque los lados iguales exigen tres ángulos de 60°.
Un triángulo rectángulo cuyos tres lados son números enteros es un triángulo pitagórico, y las tres longitudes forman una terna pitagórica como 3, 4, 5 o 5, 12, 13.
La altura h va desde el vértice del ángulo recto perpendicular a la hipotenusa. La altura corta el triángulo original en 2 triángulos menores, semejantes entre sí y al triángulo del que proceden.
Los triángulos rectángulos son la base de la trigonometría. El seno, el coseno, la tangente y la cotangente se definen como razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo, por eso una calculadora de lados y ángulos de triángulos rectángulos sirve también para evaluar funciones trigonométricas.
Uso de la herramienta
Cómo usar la calculadora de triángulos rectángulos
- Elige una pestaña. Resolver triángulo admite todas las combinaciones de datos, Teorema de Pitágoras reduce los campos a los tres lados, y Triángulos especiales escala un triángulo 30-60-90 o 45-45-90 a partir de una medida.
- Escribe el primer valor conocido en su campo: lado a, lado b, lado c, ángulo A, ángulo B o el área.
- Escribe el segundo valor conocido. El diagrama se redibuja a escala y todos los campos restantes se rellenan al instante.
- Lee los resultados: las longitudes de los lados que faltan, los dos ángulos agudos, el área, el perímetro, la altura, el inradio y el circunradio.
- Arrastra cualquiera de los tiradores violetas del diagrama para cambiar la forma del triángulo, o pulsa las teclas de flecha para cambios paso a paso. Ajusta el control de decimales a 0, 2, 4 o 6 cifras.
La calculadora acepta 6 combinaciones de datos:
- dos catetos: lado a y lado b
- un cateto y la hipotenusa: lado a y lado c, o lado b y lado c
- un cateto y un ángulo agudo: lado a y ángulo A, o lado b y ángulo B
- la hipotenusa y un ángulo agudo: lado c y ángulo A, o lado c y ángulo B
- un cateto y el área
- la hipotenusa y el área
Dos ángulos son el único par que la calculadora rechaza. El ángulo A y el ángulo B fijan la forma del triángulo pero no dicen nada de su tamaño, así que infinitos triángulos los cumplen.
Longitudes de los lados
Cómo hallar el lado que falta de un triángulo rectángulo
Para hallar el lado que falta de un triángulo rectángulo, aplica el teorema de Pitágoras si conoces dos lados, o una razón trigonométrica si conoces un lado y un ángulo agudo. Hay 3 puntos de partida, y cada uno tiene su propia fórmula.
Hallar la hipotenusa a partir de dos lados
Para hallar la hipotenusa a partir de los dos catetos, suma los cuadrados de los catetos y saca la raíz cuadrada.
c = √(a² + b²)La fórmula es el teorema de Pitágoras despejado para c. Elevar un cateto al cuadrado da el área de un cuadrado construido sobre ese cateto, y los dos cuadrados menores juntos igualan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
Figura 2: El teorema de Pitágoras como áreas
Ejemplo resuelto
Un cateto de 3 in (7.62 cm) y un cateto de 4 in (10.16 cm) dan una hipotenusa de 5 in (12.7 cm).
c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in Hallar un cateto a partir de la hipotenusa y un lado
Para hallar un cateto a partir de la hipotenusa y el otro cateto, resta el cuadrado del cateto conocido al cuadrado de la hipotenusa y saca la raíz cuadrada.
a = √(c² - b²)b = √(c² - a²) Ejemplo resuelto
Una hipotenusa de 13 cm (5.12 in) y un cateto de 5 cm (1.97 in) dan un segundo cateto de 12 cm (4.72 in).
b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm La hipotenusa tiene que ser más larga que cualquiera de los catetos. Un valor de c menor o igual que un cateto conocido produce un número negativo bajo la raíz cuadrada, y la calculadora señala el conflicto en lugar de devolver una cifra.
Hallar un lado a partir de un ángulo
Para hallar un lado a partir de un ángulo y un lado conocido, elige la razón trigonométrica que relaciona ambos. Hay 6 fórmulas, y la correcta depende del lado que tengas.
a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α) Ejemplo resuelto
Una hipotenusa de 10 m (32.81 ft) con α = 30° da directamente los dos catetos.
a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m El teorema del seno llega a los mismos resultados. En cualquier triángulo a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), y un triángulo rectángulo fija sin(C) = sin(90°) = 1, lo que reduce el teorema del seno a c = a / sin(A). La trigonometría del triángulo rectángulo es el atajo, no un sistema aparte.
Si conoces el área y un cateto en lugar de un ángulo, divide el doble del área entre el cateto conocido. Un triángulo rectángulo es un triángulo escaleno en el que un cateto hace de base y el otro de altura, así que la fórmula del área del triángulo se simplifica a área = a × b / 2, y b = 2 × área / a.
Ángulos
Cómo hallar los ángulos de un triángulo rectángulo
Para hallar los ángulos de un triángulo rectángulo, aplica una función trigonométrica inversa a la razón entre dos lados conocidos. El ángulo C está fijo en 90°, así que un solo cálculo resuelve el triángulo: el segundo ángulo agudo es el complemento del primero.
Dado β: α = 90° - βDado α: β = 90° - α La función que debes usar depende de los dos lados que conozcas. Las tres razones principales se nombran respecto al ángulo que buscas, y ese es el sentido de SOHCAHTOA: el seno es el opuesto entre la hipotenusa, el coseno es el adyacente entre la hipotenusa, la tangente es el opuesto entre el adyacente.
Figura 3: Nombres de los lados respecto a un ángulo
Hallar un ángulo con el seno
Para hallar un ángulo a partir del lado opuesto y la hipotenusa, divide el lado opuesto entre la hipotenusa y aplica el seno inverso (arcsin).
sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c) Ejemplo resuelto
Un lado a de 5 y una hipotenusa c de 13 dan un ángulo α de 22.62°.
sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Hallar un ángulo con el coseno
Para hallar un ángulo a partir del lado adyacente y la hipotenusa, divide el lado adyacente entre la hipotenusa y aplica el coseno inverso (arccos).
cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c) Ejemplo resuelto
Un lado b de 12 y una hipotenusa c de 13 dan el mismo ángulo α de 22.62°.
cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62° Hallar un ángulo con la tangente
Para hallar un ángulo a partir de los dos catetos, divide el cateto opuesto entre el cateto adyacente y aplica la tangente inversa (arctan). La tangente es la razón a la que recurrir cuando no se conoce la hipotenusa, porque usa los dos lados que no son la hipotenusa.
tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b) Ejemplo resuelto
Unos catetos de 5 y 12 dan un ángulo α de 22.62° y un ángulo β de 67.38°.
tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38° El seno inverso, el coseno inverso, la tangente inversa y la cotangente inversa devuelven el mismo ángulo para el mismo triángulo. Elige la función cuyos dos lados ya tengas, y la calculadora confirmará el valor con las demás razones. Para la regla de elección en detalle consulta SOHCAHTOA explicado, y para el propio método de hallar ángulos consulta hallar un ángulo con trigonometría inversa.
| Triángulo | Cateto a | Cateto b | Hipotenusa | Ángulo A | Ángulo B | Área | Área relativa |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Cualquier múltiplo de una terna pitagórica es también una terna: multiplica 3-4-5 por diez y 30-40-50 sigue siendo un triángulo rectángulo perfecto.
Razones trigonométricas de los ángulos estándar
Valores del seno, el coseno y la tangente para los ángulos que encontrarás con más frecuencia.
| Ángulo | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Soluciones completas
Cómo resolver un triángulo rectángulo
Para resolver un triángulo rectángulo, calcula las 6 medidas (3 lados y 3 ángulos) a partir de 2 valores conocidos. El ángulo C ya se sabe que mide 90°, lo que deja 5 incógnitas y 2 datos.
Resolver un triángulo rectángulo con dos lados
Para resolver un triángulo rectángulo a partir de dos lados, sigue tres pasos en orden.
- Halla el tercer lado con el teorema de Pitágoras.
- Halla el ángulo A con una función trigonométrica inversa de dos lados conocidos.
- Halla el ángulo B como 90° menos el ángulo A.
Ejemplo resuelto
Una hipotenusa de 13 in (33.02 cm) y un cateto a de 5 in (12.7 cm) se resuelven por completo:
b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° El triángulo es 5, 12, 13 con ángulos de 22.62°, 67.38° y 90°.
Resolver un triángulo rectángulo con un lado y un ángulo
Para resolver un triángulo rectángulo a partir de un lado y un ángulo agudo, halla primero el segundo ángulo y después usa una razón trigonométrica para cada lado que falta.
- Resta el ángulo agudo conocido de 90° para obtener el otro ángulo agudo.
- Multiplica o divide el lado conocido por el seno, el coseno o la tangente para obtener cada lado que falta.
- Comprueba el resultado con el teorema de Pitágoras.
Ejemplo resuelto
Una hipotenusa de 10 m (32.81 ft) y un ángulo α de 30° se resuelven por completo:
β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mcomprobación: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10² ¿Se puede resolver un triángulo rectángulo con un solo lado?
No, un solo lado no basta para resolver un triángulo rectángulo. Una única longitud fija la escala del triángulo y deja abierta la forma, así que infinitos triángulos rectángulos comparten ese lado. Combina el lado con uno de los ángulos no rectos, y el triángulo se puede resolver por 6 vías:
- Multiplica la hipotenusa por sin(θ) para obtener la longitud del lado opuesto al ángulo.
- Multiplica la hipotenusa por cos(θ) para obtener el lado adyacente al ángulo.
- Divide el lado adyacente que no es la hipotenusa entre cos(θ) para obtener la hipotenusa.
- Multiplica el lado adyacente por tan(θ) para obtener el lado opuesto al ángulo.
- Divide el lado opuesto entre sin(θ) para obtener la hipotenusa.
- Divide el lado opuesto entre tan(θ) para obtener el lado adyacente al ángulo.
Un lado y el área también funcionan como pareja. Introduce ambos en la calculadora y el segundo cateto sale de área = a × b / 2, y la hipotenusa se obtiene después con el teorema de Pitágoras.
Valores derivados
Medidas del triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo resuelto ofrece 5 medidas derivadas además de sus lados y ángulos: área, perímetro, altura, inradio y circunradio. La calculadora muestra las 5 junto a las longitudes de los lados.
Área de un triángulo rectángulo
Para hallar el área de un triángulo rectángulo, multiplica los dos catetos y divide entre 2. Los catetos son perpendiculares, así que uno sirve de base y el otro de altura.
area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2 Un triángulo con catetos de 6 cm (2.36 in) y 8 cm (3.15 in) ocupa 24 cm² (3.72 in²). La segunda forma usa la hipotenusa como base y la altura sobre ella como altura, y devuelve la misma cifra.
Perímetro de un triángulo rectángulo
Para hallar el perímetro de un triángulo rectángulo, suma las longitudes de los tres lados.
P = a + b + cUn triángulo 3-4-5 medido en pies tiene un perímetro de 12 ft (3.66 m). Si solo conoces los dos catetos, calcula primero la hipotenusa, ya que el perímetro necesita los tres lados.
Altura de un triángulo rectángulo
La altura de un triángulo rectángulo es la distancia perpendicular desde el vértice del ángulo recto hasta la hipotenusa. Multiplica los catetos y divide entre la hipotenusa.
h = (a × b) / cLa altura divide la hipotenusa en dos segmentos, p y q, y crea dos triángulos menores semejantes al original. De esa semejanza se derivan tres relaciones de media geométrica, expuestas en detalle en la guía del teorema de la altura del triángulo rectángulo.
h² = p × qa² = p × cb² = q × c Figura 4: La altura y sus dos segmentos
Inradio y circunradio
El inradio r es el radio de la mayor circunferencia que cabe dentro del triángulo, y el circunradio R es el radio de la circunferencia que pasa por los tres vértices.
r = (a + b - c) / 2R = c / 2 El circunradio de un triángulo rectángulo es siempre la mitad de la hipotenusa, porque la hipotenusa es un diámetro de la circunferencia circunscrita. Un triángulo 3-4-5 tiene un inradio de 1 y un circunradio de 2.5.
- Área
- 6
- Perímetro
- 12
- Altura
- 2.4
- Inradio
- 1
- Circunradio
- 2.5
Las cinco medidas derivadas de un triángulo rectángulo 3-4-5.
Referencia
Triángulos rectángulos especiales
Hay 4 triángulos rectángulos que vale la pena memorizar: el triángulo 30-60-90, el triángulo 45-45-90, el triángulo 3-4-5 y el triángulo 5-12-13. Los dos primeros tienen ángulos fijos y razones entre lados fijas, y los dos últimos son ternas pitagóricas con lados enteros. La guía de triángulos rectángulos especiales compara los dos primeros uno junto al otro.
Triángulo 30-60-90
El triángulo 30-60-90 tiene lados en la razón 1 : √3 : 2. El lado más corto está frente al ángulo de 30°, el lado mediano frente al ángulo de 60°, y la hipotenusa frente al ángulo recto, con exactamente el doble del lado más corto.
Figura 5: Triángulo 30-60-90
Conocer un lado de un triángulo 30-60-90 determina los otros dos. Un cateto menor de 5 cm (1.97 in) da un cateto mayor de 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) y una hipotenusa de 10 cm (3.94 in). El triángulo sirve para evaluar funciones trigonométricas en múltiplos de π/6, y de ahí salen los valores exactos sin(30°) = 1/2 y cos(30°) = √3/2.
Triángulo 45-45-90
El triángulo 45-45-90 tiene lados en la razón 1 : 1 : √2. Sus dos catetos miden lo mismo, lo que lo convierte en el triángulo rectángulo isósceles y le da 1 eje de simetría.
Figura 6: Triángulo 45-45-90
En un triángulo 45-45-90, un cateto de 5 in (12.7 cm) da una hipotenusa de 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). Una hipotenusa de 5 funciona al revés: divide entre √2 para obtener catetos de 3.54 cada uno. El triángulo 45-45-90 evalúa funciones trigonométricas en múltiplos de π/4, donde sin(45°) y cos(45°) valen ambos √2/2.
Triángulo rectángulo 3-4-5
El triángulo 3-4-5 es la terna pitagórica más pequeña, con ángulos agudos de 36.87° y 53.13°. Sus lados enteros lo convierten en la comprobación estándar de una esquina a escuadra en una obra, un método explicado en la regla del triángulo 3-4-5.
Figura 7: Triángulo 3-4-5 sobre una cuadrícula unitaria
Triángulo rectángulo 5-12-13
El triángulo 5-12-13 es la segunda terna pitagórica más pequeña, con ángulos agudos de 22.62° y 67.38°. Sus lados cumplen 25 + 144 = 169, y su forma estrecha resulta útil en trabajos de replanteo donde un triángulo 3-4-5 es demasiado ancho para el espacio.
Figura 8: Triángulo 5-12-13
Escalar una terna mantiene intacto el ángulo recto. Multiplica 3-4-5 por 10 para obtener 30-40-50, o 5-12-13 por 2 para obtener 10-24-26, y ambos siguen siendo triángulos rectángulos con los mismos ángulos agudos. Hay una lista de referencia más completa en la guía de ternas pitagóricas.
| Triángulo | Cateto a | Cateto b | Hipotenusa | Ángulo A | Ángulo B | Área | Área relativa |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Cualquier múltiplo de una terna pitagórica es también una terna: multiplica 3-4-5 por diez y 30-40-50 sigue siendo un triángulo rectángulo perfecto.
Razones trigonométricas de los ángulos estándar
Valores del seno, el coseno y la tangente para los ángulos que encontrarás con más frecuencia.
| Ángulo | sen | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Aplicaciones
Usos reales de los triángulos rectángulos
La geometría del triángulo rectángulo aparece siempre que hay que calcular una altura, una distancia o un ángulo sin medirlo directamente. Hay 4 campos que dependen de ella a diario: la construcción, la ingeniería, la navegación y el bricolaje. Hay casos resueltos reunidos en problemas de triángulos rectángulos.
Figura 9: Tres triángulos rectángulos cotidianos
Construcción y arquitectura
Los constructores usan triángulos rectángulos para escuadrar esquinas, fijar la pendiente de un tejado y cortar zancas de escalera. El método 3-4-5 escuadra una estructura sin escuadra: mide 3 ft (0.91 m) a lo largo de un borde, 4 ft (1.22 m) a lo largo del otro, y ajusta hasta que la diagonal marque exactamente 5 ft (1.52 m).
La pendiente de un tejado es la altura entre el avance del tejado, y la longitud del cabio es la hipotenusa de ese triángulo. Una altura de 6 in por cada 12 in de avance (152 mm por 305 mm) da un cabio de √(6² + 12²) = 13.42 in por pie de avance y un ángulo de pendiente de arctan(6 / 12) = 26.57°.
Ingeniería y física
Los ingenieros descomponen fuerzas y velocidades en componentes perpendiculares mediante triángulos rectángulos. Una fuerza de 200 N aplicada a 35° sobre la horizontal se descompone en una componente horizontal de 200 × cos(35°) = 163.8 N y una componente vertical de 200 × sin(35°) = 114.7 N.
Los cálculos de pendiente siguen el mismo patrón. Una rampa para sillas de ruedas construida con una pendiente de 1:12 sube 1 in por cada 12 in de avance (25.4 mm por 305 mm), lo que equivale a un ángulo de arctan(1 / 12) = 4.76°.
Navegación y topografía
Los topógrafos miden un ángulo de elevación o de depresión y lo convierten en una altura o una distancia. Situarse a 50 m (164 ft) de una torre con un ángulo de elevación de 32° sitúa la torre a 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) por encima del nivel de los ojos.
La reducción de poligonales descompone cada tramo del levantamiento en componentes norte-sur y este-oeste con el seno y el coseno, y luego las suma. Pilotos y marinos usan el mismo método para convertir un rumbo y una distancia en un cambio de latitud y longitud.
Bricolaje y mejoras del hogar
Los proyectos domésticos recurren a los triángulos rectángulos cuando importa una diagonal. La diagonal de un rectángulo es la hipotenusa de dos triángulos rectángulos, así que un hueco de 40 in por 30 in (101.6 cm por 76.2 cm) tiene una diagonal de √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).
Comparar esa diagonal con la otra es la forma más rápida de confirmar que un marco, una tarima o un suelo embaldosado está a escuadra. Diagonales iguales significan esquinas a escuadra. Los triángulos rectángulos también sirven para dimensionar un soporte de televisor de pared, el refuerzo de un bancal y el ángulo de corte de una moldura a inglete.
Preguntas