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Interaktiver Geometrie-Löser

Rechtwinkliges Dreieck Rechner

Zwei Werte hinein. Das ganze Dreieck heraus.

Geben Sie zwei bekannte Werte ein, und der Rechner löst das gesamte rechtwinklige Dreieck für Sie - beide Katheten, die Hypotenuse, beide spitzen Winkel, die Fläche, den Umfang und die Höhe. Die Skizze wird während der Eingabe maßstabsgetreu neu gezeichnet, und Sie können das Dreieck selbst ziehen, um zu erkunden, wie jede Größe darauf reagiert.

Live-Skizze

Maßstabsgetreu gezeichnet
Live-Skizze a b c 90°

Ziehen Sie einen der violetten Griffe, um das Dreieck zu verformen. Mit den Pfeiltasten nehmen Sie feine Anpassungen in Einzelschritten vor.

Ein klassisches Dreieck ausprobieren

Ihre Messwerte

Einheiten
Einheiten
Einheiten
°
°
Einheiten²
Fest auf 90°

Abgeleitete Ergebnisse

Umfang
- Einheiten
Fläche
- Einheiten²
Höhe h
- Einheiten
Inkreisradius r
- Einheiten
Umkreisradius R
- Einheiten

So verwenden Sie den Rechner

  1. 1 Geben Sie ein, was Sie wissen Tragen Sie zwei beliebige Werte ein - zwei Seiten, eine Seite und einen spitzen Winkel oder eine Seite und die Fläche.
  2. 2 Lesen Sie die vollständige Lösung Jede übrige Seite, jeder Winkel und jede abgeleitete Größe wird sofort ergänzt, gerundet auf die von Ihnen gewählte Genauigkeit.
  3. 3 Ziehen und erkunden Greifen Sie einen Griff in der Skizze, um das Dreieck zu verformen, und beobachten Sie, wie die Zahlen in Echtzeit folgen.

Jeder Wert wird in Ihrem Browser berechnet. Nichts, was Sie eingeben, wird übertragen, protokolliert oder gespeichert.

Alles, was der Rechner für Sie ermittelt

Die Formeln hinter den Ergebnissen

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch nur zwei unabhängige Größen vollständig bestimmt. Sobald Sie diese angeben, ergibt sich jede weitere Größe aus dem Satz des Pythagoras und den trigonometrischen Grundverhältnissen. Hier sehen Sie genau, was hinter der Skizze geschieht.

Satz des Pythagoras

c² = a² + b²

Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten. Umgestellt liefert der Satz jede fehlende Seite: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²), b = √(c² − a²).

Trigonometrische Verhältnisse

sin A = a / c · cos A = b / c · tan A = a / b

Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus Ankathete durch Hypotenuse, der Tangens Gegenkathete durch Ankathete. Kehren Sie sie um (asin, acos, atan), um aus zwei Seiten einen Winkel zu bestimmen.

Komplementärwinkel

A + B = 90°

Die beiden spitzen Winkel ergeben zusammen immer 90°, denn der dritte Winkel ist der rechte Winkel. Kennen Sie einen spitzen Winkel, kennen Sie sofort auch den anderen.

Fläche und Umfang

Area = (a · b) / 2 · P = a + b + c

Die Katheten stehen senkrecht aufeinander und dienen daher als Grundseite und Höhe. Der Umfang ist einfach die Summe aller drei Seiten.

Höhe auf die Hypotenuse

h = (a · b) / c

Die vom rechten Winkel auf die Hypotenuse gefällte Höhe teilt das Dreieck in zwei kleinere Dreiecke, die dem ursprünglichen ähnlich sind.

Inkreis- und Umkreisradius

r = (a + b − c) / 2 · R = c / 2

Der Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks hat stets die Hypotenuse als Durchmesser - eine unmittelbare Folge des Satzes des Thales.

Die Methode

So funktioniert Rechtwinkliges Dreieck Rechner

Der Löser rät nie. Er wählt genau die Beziehung, die zu dem von Ihnen angegebenen Wertepaar passt, und leitet daraus alles Weitere ab.

  1. 1

    Er merkt sich Ihre letzten zwei Eingaben

    Ein rechtwinkliges Dreieck hat genau zwei Freiheitsgrade. Der Rechner merkt sich die beiden zuletzt bearbeiteten Felder und behandelt sie als das bekannte Paar - Ihre neueste Eingabe wird also stets berücksichtigt.

  2. 2

    Er wählt die passende Beziehung

    Zwei Katheten führen zum Satz des Pythagoras. Eine Seite und ein Winkel führen zu Sinus, Kosinus oder Tangens. Eine Seite und die Fläche führen zur Beziehung aus Grundseite und Höhe. Jeder Fall hat eine geschlossene Lösung - keine Iteration, keine Näherung.

  3. 3

    Er prüft, bevor er zeichnet

    Eine Hypotenuse, die kürzer als eine Kathete ist, eine nicht positive Länge oder ein spitzer Winkel außerhalb von 0°–90° wird mit einer klaren Meldung zurückgewiesen statt mit einem irreführenden Ergebnis.

  4. 4

    Er zeichnet maßstabsgetreu neu

    Die SVG-Skizze wird bei jeder Änderung aus dem gelösten Dreieck neu aufgebaut und behält die echten Proportionen bei - ein 3-4-5-Dreieck sieht also auch wirklich wie ein 3-4-5-Dreieck aus.

Alles läuft lokal in Ihrem Browser. Kein von Ihnen eingegebener Messwert wird jemals übertragen.

Referenzdaten

Häufige rechtwinklige Dreiecke auf einen Blick

Pythagoreische Tripel und die beiden besonderen Dreiecke, die in nahezu jeder Geometrieprüfung vorkommen. Der Balken zeigt die Fläche jedes Dreiecks im Verhältnis zum größten Eintrag der Tabelle.

Tabelle häufiger rechtwinkliger Dreiecke mit ihren Seiten, spitzen Winkeln und Flächen.
Dreieck Kathete a Kathete b Hypotenuse Winkel A Winkel B Fläche Relative Fläche
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

Jedes Vielfache eines pythagoreischen Tripels ist selbst ein Tripel - verzehnfachen Sie 3-4-5, und 30-40-50 ist immer noch ein perfektes rechtwinkliges Dreieck.

Trigonometrische Werte für die Standardwinkel

Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für die Winkel, die Ihnen am häufigsten begegnen.

Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für die Winkel, die Ihnen am häufigsten begegnen.
Winkel sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

Fragen

Häufig gestellte Fragen

Die Fragen, die zum Lösen rechtwinkliger Dreiecke am häufigsten gestellt werden.

Wie heißt die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks?

Die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks heißt Hypotenuse. Die Hypotenuse liegt dem 90°-Winkel gegenüber und trägt die Bezeichnung Seite c. Ihre Länge ergibt sich aus den beiden Katheten als c = √(a² + b²), wodurch sie in jedem rechtwinkligen Dreieck länger ist als die Seite a und die Seite b.

Wie viele Symmetrieachsen hat ein rechtwinkliges Dreieck?

Ein rechtwinkliges Dreieck hat 1 Symmetrieachse, wenn es gleichschenklig ist, und in jedem anderen Fall 0 Symmetrieachsen. Der gleichschenklige Fall ist das 45-45-90-Dreieck, bei dem die beiden Katheten gleich lang sind und die Symmetrieachse vom rechten Winkel zum Mittelpunkt der Hypotenuse verläuft. Ein ungleichseitiges rechtwinkliges Dreieck wie 3-4-5 hat keine Symmetrieachse.

Wie finde ich die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks?

Um die Hypotenuse zu finden, ziehen Sie die Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der beiden Katheten: c = √(a² + b²). Für Katheten von 3 und 4 ergibt sich c = √(9 + 16) = √25 = 5. Sind stattdessen eine Kathete und ein spitzer Winkel gegeben, verwenden Sie c = a / sin(α) oder c = b / cos(α).

Kann ein rechtwinkliges Dreieck zwei gleich lange Seiten haben?

Ja, ein rechtwinkliges Dreieck kann zwei gleich lange Seiten haben. Die beiden Katheten können gleich lang sein; das ergibt das gleichschenklige rechtwinklige 45-45-90-Dreieck mit einer Hypotenuse von a√2 und zwei spitzen Winkeln von 45°. Alle drei Seiten können nicht gleich lang sein, denn gleich lange Seiten erzwingen drei Winkel von 60°, während ein rechtwinkliges Dreieck einen Winkel von 90° braucht.

Sind alle rechtwinkligen Dreiecke einander ähnlich?

Nein, rechtwinklige Dreiecke sind nicht alle ähnlich. Zwei rechtwinklige Dreiecke sind nur dann ähnlich, wenn ihre spitzen Winkel übereinstimmen, gleichbedeutend damit, dass das Verhältnis zweier entsprechender Seiten gleich ist. Ein 30-60-90-Dreieck und ein 45-45-90-Dreieck sind beide rechtwinklig und nicht ähnlich, denn ihre Seitenverhältnisse 1:√3:2 und 1:1:√2 unterscheiden sich.

Zwei Werte hinein. Das ganze Dreieck heraus.

Lösen Sie jedes rechtwinklige Dreieck in Sekunden. Geben Sie zwei bekannte Werte ein und erhalten Sie alle Seiten, Winkel, Fläche, Umfang und Höhe mit einer interaktiven, live gezeichneten Skizze.

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