Grundlagen
Was ist ein rechtwinkliges Dreieck?
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem Innenwinkel von genau 90°. Der 90°-Winkel ist der rechte Winkel, und die ihm gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse, die längste der drei Seiten.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat 3 Seiten und 3 Winkel, die nach einer Konvention benannt werden, die dieser Rechner mit den meisten Lehrbüchern teilt:
- Seite a und Seite b sind die Katheten, die beiden Seiten neben der Hypotenuse, die sich im rechten Winkel treffen.
- Seite c ist die Hypotenuse, die Seite gegenüber dem Winkel C.
- Winkel A liegt Seite a gegenüber, Winkel B liegt Seite b gegenüber, und Winkel C misst 90°.
Viele Quellen bezeichnen die beiden spitzen Winkel als α (Alpha) und β (Beta) und verwenden θ (Theta) für den jeweils betrachteten Winkel. Winkel A und α bezeichnen dieselbe Größe, daher funktioniert eine mit α geschriebene Formel unverändert mit Winkel A.
Abbildung 1: Aufbau eines rechtwinkligen Dreiecks
In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten zwei Regeln:
- Die beiden spitzen Winkel ergänzen sich zu 90°, also Winkel A + Winkel B = 90°. Die drei Winkel ergeben zusammen 180°, und Winkel C beansprucht davon bereits 90°.
- Die drei Seiten erfüllen den Satz des Pythagoras, a² + b² = c². Die Beziehung gilt auch umgekehrt: Ein Dreieck, bei dem das Quadrat der längsten Seite gleich der Summe der beiden anderen Quadrate ist, ist rechtwinklig.
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ungleichseitig, wenn alle drei Seiten verschieden lang sind, und gleichschenklig, wenn die beiden Katheten gleich lang sind, was beide spitzen Winkel auf 45° festlegt. Kein rechtwinkliges Dreieck ist gleichseitig, denn gleiche Seiten erfordern drei 60°-Winkel.
Ein rechtwinkliges Dreieck, dessen drei Seiten alle ganzzahlig sind, ist ein pythagoreisches Dreieck, und die drei Längen bilden ein pythagoreisches Tripel wie 3, 4, 5 oder 5, 12, 13.
Die Höhe h verläuft vom Scheitel des rechten Winkels senkrecht zur Hypotenuse. Die Höhe teilt das ursprüngliche Dreieck in 2 kleinere Dreiecke, die einander und dem Ausgangsdreieck ähnlich sind.
Rechtwinklige Dreiecke sind die Grundlage der Trigonometrie. Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sind als Verhältnisse von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck definiert, weshalb ein Rechner für Seiten und Winkel rechtwinkliger Dreiecke zugleich als Werkzeug zur Auswertung trigonometrischer Funktionen dient.
Bedienung
So verwenden Sie den Rechner für rechtwinklige Dreiecke
- Wählen Sie einen Reiter. Dreieck lösen verarbeitet jede Eingabekombination, Satz des Pythagoras beschränkt die Felder auf die drei Seiten, und Besondere Dreiecke skaliert ein 30-60-90- oder 45-45-90-Dreieck aus einer einzigen Größe.
- Tragen Sie den ersten bekannten Wert in sein Feld ein: Seite a, Seite b, Seite c, Winkel A, Winkel B oder die Fläche.
- Tragen Sie den zweiten bekannten Wert ein. Die Skizze wird maßstabsgetreu neu gezeichnet, und alle übrigen Felder füllen sich sofort.
- Lesen Sie die Ergebnisse ab: die fehlenden Seitenlängen, beide spitzen Winkel, die Fläche, den Umfang, die Höhe, den Inkreisradius und den Umkreisradius.
- Ziehen Sie einen der violetten Griffe in der Skizze, um das Dreieck zu verformen, oder drücken Sie die Pfeiltasten für Änderungen in Einzelschritten. Stellen Sie die Dezimalstellen auf 0, 2, 4 oder 6 Stellen ein.
Der Rechner akzeptiert 6 Eingabekombinationen:
- zwei Katheten: Seite a und Seite b
- eine Kathete und die Hypotenuse: Seite a und Seite c oder Seite b und Seite c
- eine Kathete und ein spitzer Winkel: Seite a und Winkel A oder Seite b und Winkel B
- die Hypotenuse und ein spitzer Winkel: Seite c und Winkel A oder Seite c und Winkel B
- eine Kathete und die Fläche
- die Hypotenuse und die Fläche
Zwei Winkel sind das einzige Paar, das der Rechner ablehnt. Winkel A und Winkel B legen die Form des Dreiecks fest, sagen aber nichts über seine Größe aus, daher erfüllen unendlich viele Dreiecke diese Angaben.
Seitenlängen
So finden Sie die fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks
Um die fehlende Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenden Sie den Satz des Pythagoras an, wenn zwei Seiten bekannt sind, oder ein trigonometrisches Verhältnis, wenn eine Seite und ein spitzer Winkel bekannt sind. Es gibt 3 Ausgangslagen, und jede hat ihre eigene Formel.
Die Hypotenuse aus zwei Seiten berechnen
Um die Hypotenuse aus den beiden Katheten zu berechnen, addieren Sie die Quadrate der Katheten und ziehen die Quadratwurzel.
c = √(a² + b²)Die Formel ist der nach c umgestellte Satz des Pythagoras. Das Quadrieren einer Kathete ergibt die Fläche eines Quadrats über dieser Kathete, und die beiden kleineren Quadrate sind zusammen gleich dem Quadrat über der Hypotenuse.
Abbildung 2: Der Satz des Pythagoras als Flächen
Rechenbeispiel
Eine Kathete von 3 in (7.62 cm) und eine Kathete von 4 in (10.16 cm) ergeben eine Hypotenuse von 5 in (12.7 cm).
c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in Eine Kathete aus der Hypotenuse und einer Seite berechnen
Um eine Kathete aus der Hypotenuse und der anderen Kathete zu berechnen, ziehen Sie das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und ziehen die Quadratwurzel.
a = √(c² - b²)b = √(c² - a²) Rechenbeispiel
Eine Hypotenuse von 13 cm (5.12 in) und eine Kathete von 5 cm (1.97 in) ergeben eine zweite Kathete von 12 cm (4.72 in).
b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm Die Hypotenuse muss länger sein als jede der beiden Katheten. Ein Wert von c, der kleiner oder gleich einer bekannten Kathete ist, erzeugt eine negative Zahl unter der Wurzel, und der Rechner meldet den Widerspruch, statt ein Ergebnis auszugeben.
Eine Seite mithilfe eines Winkels berechnen
Um eine Seite aus einem Winkel und einer bekannten Seite zu berechnen, wählen Sie das trigonometrische Verhältnis, das beide verbindet. Es gibt 6 Formeln, und die passende hängt davon ab, welche Seite Sie kennen.
a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α) Rechenbeispiel
Eine Hypotenuse von 10 m (32.81 ft) mit α = 30° liefert direkt beide Katheten.
a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m Der Sinussatz führt zu denselben Ergebnissen. In jedem Dreieck gilt a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), und im rechtwinkligen Dreieck ist sin(C) = sin(90°) = 1, wodurch sich der Sinussatz zu c = a / sin(A) vereinfacht. Die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck ist die Abkürzung, kein eigenes System.
Kennen Sie statt eines Winkels die Fläche und eine Kathete, teilen Sie die doppelte Fläche durch die bekannte Kathete. Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein ungleichseitiges Dreieck, bei dem die eine Kathete als Grundseite und die andere als Höhe dient, daher vereinfacht sich die Flächenformel des Dreiecks zu Fläche = a × b / 2 und b = 2 × Fläche / a.
Winkel
So finden Sie die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks
Um die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu finden, wenden Sie eine Umkehrfunktion der Trigonometrie auf das Verhältnis zweier bekannter Seiten an. Winkel C ist auf 90° festgelegt, daher genügt eine Rechnung für das ganze Dreieck: Der zweite spitze Winkel ist die Ergänzung des ersten zu 90°.
Gegeben β: α = 90° - βGegeben α: β = 90° - α Welche Funktion Sie verwenden, hängt davon ab, welche zwei Seiten Sie kennen. Die drei Grundverhältnisse werden bezogen auf den gesuchten Winkel benannt, und genau das bedeutet SOHCAHTOA: Der Sinus ist Gegenkathete durch Hypotenuse, der Kosinus Ankathete durch Hypotenuse, der Tangens Gegenkathete durch Ankathete.
Abbildung 3: Seitennamen bezogen auf einen Winkel
Einen Winkel mit dem Sinus berechnen
Um einen Winkel aus der Gegenkathete und der Hypotenuse zu berechnen, teilen Sie die Gegenkathete durch die Hypotenuse und wenden den Arkussinus (arcsin) an.
sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c) Rechenbeispiel
Eine Seite a von 5 und eine Hypotenuse c von 13 ergeben einen Winkel α von 22.62°.
sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Einen Winkel mit dem Kosinus berechnen
Um einen Winkel aus der Ankathete und der Hypotenuse zu berechnen, teilen Sie die Ankathete durch die Hypotenuse und wenden den Arkuskosinus (arccos) an.
cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c) Rechenbeispiel
Eine Seite b von 12 und eine Hypotenuse c von 13 ergeben denselben Winkel α von 22.62°.
cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62° Einen Winkel mit dem Tangens berechnen
Um einen Winkel aus den beiden Katheten zu berechnen, teilen Sie die Gegenkathete durch die Ankathete und wenden den Arkustangens (arctan) an. Der Tangens ist das Verhältnis der Wahl, wenn die Hypotenuse unbekannt ist, da er die beiden Katheten verwendet.
tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b) Rechenbeispiel
Katheten von 5 und 12 ergeben einen Winkel α von 22.62° und einen Winkel β von 67.38°.
tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38° Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens liefern für dasselbe Dreieck alle denselben Winkel. Wählen Sie die Funktion, deren zwei Seiten Sie bereits kennen, und der Rechner bestätigt den Wert anhand der anderen Verhältnisse. Die Auswahlregel im Detail finden Sie unter SOHCAHTOA erklärt, und die Methode zur Winkelbestimmung selbst unter Winkel mit Arkusfunktionen bestimmen.
| Dreieck | Kathete a | Kathete b | Hypotenuse | Winkel A | Winkel B | Fläche | Relative Fläche |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Jedes Vielfache eines pythagoreischen Tripels ist selbst ein Tripel - verzehnfachen Sie 3-4-5, und 30-40-50 ist immer noch ein perfektes rechtwinkliges Dreieck.
Trigonometrische Werte für die Standardwinkel
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für die Winkel, die Ihnen am häufigsten begegnen.
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Vollständige Lösungen
So lösen Sie ein rechtwinkliges Dreieck
Um ein rechtwinkliges Dreieck zu lösen, bestimmen Sie alle 6 Größen (3 Seiten und 3 Winkel) aus 2 bekannten Werten. Winkel C ist mit 90° bereits bekannt, es bleiben also 5 Unbekannte und 2 Angaben.
Ein rechtwinkliges Dreieck aus zwei Seiten lösen
Um ein rechtwinkliges Dreieck aus zwei Seiten zu lösen, führen Sie drei Schritte der Reihe nach aus.
- Bestimmen Sie die dritte Seite mit dem Satz des Pythagoras.
- Bestimmen Sie Winkel A mit einer trigonometrischen Umkehrfunktion aus zwei bekannten Seiten.
- Bestimmen Sie Winkel B als 90° minus Winkel A.
Rechenbeispiel
Eine Hypotenuse von 13 in (33.02 cm) und eine Kathete a von 5 in (12.7 cm) lösen das Dreieck vollständig:
b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Das Dreieck hat die Seiten 5, 12, 13 und die Winkel 22.62°, 67.38° und 90°.
Ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Seite und einem Winkel lösen
Um ein rechtwinkliges Dreieck aus einer Seite und einem spitzen Winkel zu lösen, bestimmen Sie zuerst den zweiten Winkel und verwenden dann für jede fehlende Seite ein trigonometrisches Verhältnis.
- Ziehen Sie den bekannten spitzen Winkel von 90° ab, um den anderen spitzen Winkel zu erhalten.
- Multiplizieren oder dividieren Sie die bekannte Seite mit Sinus, Kosinus oder Tangens, um jede fehlende Seite zu erhalten.
- Prüfen Sie das Ergebnis mit dem Satz des Pythagoras.
Rechenbeispiel
Eine Hypotenuse von 10 m (32.81 ft) und ein Winkel α von 30° lösen das Dreieck vollständig:
β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mProbe: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10² Lässt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit nur einer Seite lösen?
Nein, eine Seite allein reicht nicht, um ein rechtwinkliges Dreieck zu lösen. Eine einzelne Länge legt den Maßstab des Dreiecks fest und lässt die Form offen, daher teilen unendlich viele rechtwinklige Dreiecke diese Seite. Kombinieren Sie die Seite mit einem der beiden spitzen Winkel, und das Dreieck wird auf 6 Wegen lösbar:
- Multiplizieren Sie die Hypotenuse mit sin(θ), um die Länge der Seite gegenüber dem Winkel zu erhalten.
- Multiplizieren Sie die Hypotenuse mit cos(θ), um die am Winkel anliegende Seite zu erhalten.
- Teilen Sie die anliegende Kathete durch cos(θ), um die Hypotenuse zu erhalten.
- Multiplizieren Sie die Ankathete mit tan(θ), um die Seite gegenüber dem Winkel zu erhalten.
- Teilen Sie die Gegenkathete durch sin(θ), um die Hypotenuse zu erhalten.
- Teilen Sie die Gegenkathete durch tan(θ), um die am Winkel anliegende Seite zu erhalten.
Auch eine Seite und die Fläche bilden ein brauchbares Paar. Geben Sie beide in den Rechner ein, und die zweite Kathete ergibt sich aus Fläche = a × b / 2, die Hypotenuse folgt aus dem Satz des Pythagoras.
Abgeleitete Werte
Größen im rechtwinkligen Dreieck
Ein gelöstes rechtwinkliges Dreieck liefert neben Seiten und Winkeln 5 abgeleitete Größen: Fläche, Umfang, Höhe, Inkreisradius und Umkreisradius. Der Rechner gibt alle 5 zusammen mit den Seitenlängen aus.
Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks
Um die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, multiplizieren Sie die beiden Katheten und teilen durch 2. Die Katheten stehen senkrecht aufeinander, daher dient die eine als Grundseite und die andere als Höhe.
area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2 Ein Dreieck mit Katheten von 6 cm (2.36 in) und 8 cm (3.15 in) hat eine Fläche von 24 cm² (3.72 in²). Die zweite Form verwendet die Hypotenuse als Grundseite und die Höhe als Höhe und liefert denselben Wert.
Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks
Um den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, addieren Sie die drei Seitenlängen.
P = a + b + cEin in Fuß gemessenes 3-4-5-Dreieck hat einen Umfang von 12 ft (3.66 m). Sind nur die beiden Katheten gegeben, berechnen Sie zuerst die Hypotenuse, denn für den Umfang werden alle drei Seiten benötigt.
Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks
Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist der senkrechte Abstand vom Scheitel des rechten Winkels zur Hypotenuse. Multiplizieren Sie die Katheten und teilen Sie durch die Hypotenuse.
h = (a × b) / cDie Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte, p und q, und erzeugt zwei kleinere Dreiecke, die dem ursprünglichen ähnlich sind. Aus dieser Ähnlichkeit folgen drei Beziehungen des geometrischen Mittels, die im Leitfaden zum Höhensatz im rechtwinkligen Dreieck ausführlich dargestellt sind.
h² = p × qa² = p × cb² = q × c Abbildung 4: Die Höhe und ihre zwei Abschnitte
Inkreis- und Umkreisradius
Der Inkreisradius r ist der Radius des größten Kreises, der in das Dreieck passt, und der Umkreisradius R ist der Radius des Kreises durch alle drei Eckpunkte.
r = (a + b - c) / 2R = c / 2 Der Umkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks ist immer die halbe Hypotenuse, denn die Hypotenuse ist ein Durchmesser des Umkreises. Ein 3-4-5-Dreieck hat einen Inkreisradius von 1 und einen Umkreisradius von 2.5.
- Fläche
- 6
- Umfang
- 12
- Höhe
- 2.4
- Inkreisradius
- 1
- Umkreisradius
- 2.5
Die fünf abgeleiteten Größen eines rechtwinkligen 3-4-5-Dreiecks.
Nachschlagewerk
Besondere rechtwinklige Dreiecke
Es gibt 4 rechtwinklige Dreiecke, die man sich merken sollte: das 30-60-90-Dreieck, das 45-45-90-Dreieck, das 3-4-5-Dreieck und das 5-12-13-Dreieck. Die ersten beiden haben feste Winkel und feste Seitenverhältnisse, die letzten beiden sind pythagoreische Tripel mit ganzzahligen Seiten. Der Leitfaden zu besonderen rechtwinkligen Dreiecken vergleicht die ersten beiden direkt miteinander.
30-60-90-Dreieck
Das 30-60-90-Dreieck hat Seiten im Verhältnis 1 : √3 : 2. Die kürzeste Seite liegt dem 30°-Winkel gegenüber, die mittlere Seite dem 60°-Winkel, und die Hypotenuse liegt dem rechten Winkel gegenüber und ist genau doppelt so lang wie die kürzeste Seite.
Abbildung 5: 30-60-90-Dreieck
Wer eine Seite eines 30-60-90-Dreiecks kennt, kennt auch die beiden anderen. Eine kurze Kathete von 5 cm (1.97 in) ergibt eine lange Kathete von 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) und eine Hypotenuse von 10 cm (3.94 in). Mit dem Dreieck werden trigonometrische Funktionen für Vielfache von π/6 ausgewertet, und daher stammen die exakten Werte sin(30°) = 1/2 und cos(30°) = √3/2.
45-45-90-Dreieck
Das 45-45-90-Dreieck hat Seiten im Verhältnis 1 : 1 : √2. Beide Katheten sind gleich lang, was es zum gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck macht und ihm 1 Symmetrieachse verleiht.
Abbildung 6: 45-45-90-Dreieck
In einem 45-45-90-Dreieck ergibt eine Kathete von 5 in (12.7 cm) eine Hypotenuse von 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). Eine Hypotenuse von 5 funktioniert in die andere Richtung: Teilen Sie durch √2 und erhalten Sie Katheten von je 3.54. Das 45-45-90-Dreieck wertet trigonometrische Funktionen für Vielfache von π/4 aus, wobei sin(45°) und cos(45°) beide √2/2 betragen.
Rechtwinkliges 3-4-5-Dreieck
Das 3-4-5-Dreieck ist das kleinste pythagoreische Tripel, mit spitzen Winkeln von 36.87° und 53.13°. Dank ganzzahliger Seiten ist es die übliche Prüfung für einen rechten Winkel auf der Baustelle, eine Methode, die in der 3-4-5-Regel beschrieben wird.
Abbildung 7: 3-4-5-Dreieck auf einem Einheitsraster
Rechtwinkliges 5-12-13-Dreieck
Das 5-12-13-Dreieck ist das zweitkleinste pythagoreische Tripel, mit spitzen Winkeln von 22.62° und 67.38°. Seine Seiten erfüllen 25 + 144 = 169, und seine schmale Form eignet sich für Anrissarbeiten, bei denen ein 3-4-5-Dreieck für den verfügbaren Platz zu breit ist.
Abbildung 8: 5-12-13-Dreieck
Das Skalieren eines Tripels erhält den rechten Winkel. Multiplizieren Sie 3-4-5 mit 10 für 30-40-50 oder 5-12-13 mit 2 für 10-24-26, und beide bleiben rechtwinklige Dreiecke mit denselben spitzen Winkeln. Eine ausführlichere Übersicht bietet der Leitfaden zu pythagoreischen Tripeln.
| Dreieck | Kathete a | Kathete b | Hypotenuse | Winkel A | Winkel B | Fläche | Relative Fläche |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Jedes Vielfache eines pythagoreischen Tripels ist selbst ein Tripel - verzehnfachen Sie 3-4-5, und 30-40-50 ist immer noch ein perfektes rechtwinkliges Dreieck.
Trigonometrische Werte für die Standardwinkel
Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte für die Winkel, die Ihnen am häufigsten begegnen.
| Winkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Anwendungen
Rechtwinklige Dreiecke in der Praxis
Die Geometrie rechtwinkliger Dreiecke kommt überall dort zum Einsatz, wo eine Höhe, eine Entfernung oder ein Winkel ermittelt werden muss, ohne ihn direkt zu messen. Es gibt 4 Bereiche, die täglich darauf angewiesen sind: Bauwesen, Ingenieurwesen, Navigation und Heimwerken. Durchgerechnete Fälle finden Sie unter Textaufgaben zu rechtwinkligen Dreiecken.
Abbildung 9: Drei rechtwinklige Dreiecke aus dem Alltag
Bauwesen und Architektur
Handwerker nutzen rechtwinklige Dreiecke, um Ecken rechtwinklig auszurichten, die Dachneigung festzulegen und Treppenwangen zuzuschneiden. Die 3-4-5-Methode richtet einen Rahmen ohne Winkel rechtwinklig aus: Messen Sie 3 ft (0.91 m) entlang einer Kante und 4 ft (1.22 m) entlang der anderen, und justieren Sie, bis die Diagonale genau 5 ft (1.52 m) beträgt.
Die Dachneigung ist das Verhältnis von Höhe zu waagerechter Länge eines Dachs, und die Sparrenlänge ist die Hypotenuse dieses Dreiecks. Eine Höhe von 6 in pro 12 in Länge (152 mm pro 305 mm) ergibt einen Sparren von √(6² + 12²) = 13.42 in pro Fuß Länge und einen Neigungswinkel von arctan(6 / 12) = 26.57°.
Ingenieurwesen und Physik
Ingenieure zerlegen Kräfte und Geschwindigkeiten mithilfe rechtwinkliger Dreiecke in senkrecht zueinander stehende Komponenten. Eine Kraft von 200 N, die unter 35° zur Horizontalen wirkt, zerfällt in eine horizontale Komponente von 200 × cos(35°) = 163.8 N und eine vertikale Komponente von 200 × sin(35°) = 114.7 N.
Steigungsberechnungen folgen demselben Muster. Eine Rollstuhlrampe mit einer Steigung von 1:12 steigt um 1 in pro 12 in Länge (25.4 mm pro 305 mm), was einem Winkel von arctan(1 / 12) = 4.76° entspricht.
Navigation und Vermessung
Vermesser messen einen Höhen- oder Tiefenwinkel und rechnen ihn in eine Höhe oder eine Entfernung um. Wer 50 m (164 ft) von einem Turm entfernt steht und einen Höhenwinkel von 32° misst, erhält für den Turm 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) über Augenhöhe.
Bei der Polygonzugberechnung wird jede Messstrecke mit Sinus und Kosinus in Nord-Süd- und Ost-West-Komponenten zerlegt, die anschließend addiert werden. Piloten und Seeleute nutzen dieselbe Methode, um einen Kurs und eine Entfernung in eine Änderung von Breite und Länge umzurechnen.
Heimwerken und Renovierung
Heimwerkerprojekte greifen auf rechtwinklige Dreiecke zurück, wenn eine Diagonale wichtig ist. Die Diagonale eines Rechtecks ist die Hypotenuse zweier rechtwinkliger Dreiecke, daher hat eine Öffnung von 40 in mal 30 in (101.6 cm mal 76.2 cm) eine Diagonale von √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).
Der Vergleich dieser Diagonale mit ihrem Gegenstück ist der schnellste Weg, um zu prüfen, ob ein Rahmen, eine Terrasse oder ein Fliesenboden rechtwinklig ist. Gleiche Diagonalen bedeuten rechte Winkel an den Ecken. Rechtwinklige Dreiecke helfen auch beim Bemessen einer TV-Wandhalterung, einer Beetstrebe und des Schnittwinkels einer Gehrungsleiste.
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