Fundamentos
O que é um triângulo retângulo?
Um triângulo retângulo é um triângulo com um ângulo interno de exatamente 90°. O ângulo de 90° é o ângulo reto, e o lado de frente para ele é a hipotenusa, o mais longo dos três lados.
Um triângulo retângulo tem 3 lados e 3 ângulos, nomeados por uma convenção que esta calculadora e a maioria dos livros didáticos compartilham:
- O lado a e o lado b são os catetos, os dois lados que não são a hipotenusa e que se encontram no ângulo reto.
- O lado c é a hipotenusa, o lado oposto ao ângulo C.
- O ângulo A fica de frente para o lado a, o ângulo B fica de frente para o lado b e o ângulo C mede 90°.
Muitas fontes escrevem os dois ângulos agudos como α (alfa) e β (beta), e usam θ (teta) para o ângulo que estiver em discussão. O ângulo A e α nomeiam a mesma medida, então uma fórmula escrita com α funciona sem alteração com o ângulo A.
Figura 1: Anatomia de um triângulo retângulo
Duas regras valem em todo triângulo retângulo:
- Os dois ângulos agudos são complementares, então ângulo A + ângulo B = 90°. Os três ângulos somam 180° e o ângulo C já ocupa 90° desse total.
- Os três lados satisfazem o teorema de Pitágoras, a² + b² = c². A relação também vale no sentido inverso: um triângulo cujo lado mais longo ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos outros dois é retângulo.
Um triângulo retângulo é escaleno quando os três lados têm comprimentos diferentes, e isósceles quando os dois catetos são iguais, o que força os dois ângulos agudos a 45°. Nenhum triângulo retângulo é equilátero, porque lados iguais exigem três ângulos de 60°.
Um triângulo retângulo cujos três lados são todos inteiros é um triângulo pitagórico, e os três comprimentos formam um terno pitagórico, como 3, 4, 5 ou 5, 12, 13.
A altura h vai do vértice do ângulo reto, perpendicular à hipotenusa. A altura divide o triângulo original em 2 triângulos menores, cada um semelhante ao outro e ao triângulo de onde vieram.
Os triângulos retângulos são a base da trigonometria. Seno, cosseno, tangente e cotangente são definidos como razões entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, e é por isso que uma calculadora de lados e ângulos de triângulo retângulo também serve para calcular funções trigonométricas.
Usando a ferramenta
Como usar a calculadora de triângulo retângulo
- Escolha uma aba. Resolver triângulo aceita todas as combinações de entrada, Teorema de Pitágoras reduz os campos aos três lados, e Triângulos especiais dimensiona um triângulo 30-60-90 ou 45-45-90 a partir de uma única medida.
- Digite o primeiro valor conhecido no seu campo: lado a, lado b, lado c, ângulo A, ângulo B ou a área.
- Digite o segundo valor conhecido. O diagrama é redesenhado em escala e todos os campos restantes são preenchidos de uma vez.
- Leia os resultados: os comprimentos dos lados que faltam, os dois ângulos agudos, a área, o perímetro, a altura, o inraio e o circunraio.
- Arraste qualquer uma das alças violeta do diagrama para mudar a forma do triângulo, ou pressione as teclas de seta para alterações de um passo. Ajuste o controle de casas decimais para 0, 2, 4 ou 6 casas.
Há 6 combinações de entrada que a calculadora aceita:
- dois catetos: lado a e lado b
- um cateto e a hipotenusa: lado a e lado c, ou lado b e lado c
- um cateto e um ângulo agudo: lado a e ângulo A, ou lado b e ângulo B
- a hipotenusa e um ângulo agudo: lado c e ângulo A, ou lado c e ângulo B
- um cateto e a área
- a hipotenusa e a área
Dois ângulos são o único par que a calculadora rejeita. O ângulo A e o ângulo B fixam a forma do triângulo e não dizem nada sobre o seu tamanho, então infinitos triângulos os satisfazem.
Comprimentos dos lados
Como encontrar o lado que falta em um triângulo retângulo
Para encontrar o lado que falta em um triângulo retângulo, aplique o teorema de Pitágoras quando dois lados forem conhecidos, ou uma razão trigonométrica quando um lado e um ângulo agudo forem conhecidos. Há 3 pontos de partida, e cada um tem sua própria fórmula.
Encontrar a hipotenusa usando dois lados
Para encontrar a hipotenusa a partir dos dois catetos, some os quadrados dos catetos e tire a raiz quadrada.
c = √(a² + b²)A fórmula é o teorema de Pitágoras reorganizado para c. Elevar um cateto ao quadrado produz a área de um quadrado construído sobre esse cateto, e os dois quadrados menores juntos igualam o quadrado construído sobre a hipotenusa.
Figura 2: O teorema de Pitágoras como áreas
Exemplo resolvido
Um cateto de 3 in (7.62 cm) e um cateto de 4 in (10.16 cm) dão uma hipotenusa de 5 in (12.7 cm).
c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in Encontrar um cateto usando a hipotenusa e um lado
Para encontrar um cateto a partir da hipotenusa e do outro cateto, subtraia o quadrado do cateto conhecido do quadrado da hipotenusa e tire a raiz quadrada.
a = √(c² - b²)b = √(c² - a²) Exemplo resolvido
Uma hipotenusa de 13 cm (5.12 in) e um cateto de 5 cm (1.97 in) dão um segundo cateto de 12 cm (4.72 in).
b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm A hipotenusa precisa ser mais longa que qualquer um dos catetos. Um valor de c menor ou igual a um cateto conhecido produz um número negativo sob a raiz quadrada, e a calculadora informa o conflito em vez de retornar um valor.
Encontrar um lado usando um ângulo
Para encontrar um lado a partir de um ângulo e de um lado conhecido, escolha a razão trigonométrica que liga os dois. Há 6 fórmulas, e a correta depende de qual lado você tem.
a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α) Exemplo resolvido
Uma hipotenusa de 10 m (32.81 ft) com α = 30° dá os dois catetos diretamente.
a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m A lei dos senos chega às mesmas respostas. Em qualquer triângulo a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), e um triângulo retângulo tem sin(C) = sin(90°) = 1, o que reduz a lei dos senos a c = a / sin(A). A trigonometria do triângulo retângulo é o atalho, não um sistema separado.
Com a área e um cateto em vez de um ângulo, divida o dobro da área pelo cateto conhecido. Um triângulo retângulo é um triângulo escaleno em que um cateto funciona como base e o outro como altura, então a fórmula da área do triângulo se simplifica para área = a × b / 2, e b = 2 × área / a.
Ângulos
Como encontrar os ângulos de um triângulo retângulo
Para encontrar os ângulos de um triângulo retângulo, aplique uma função trigonométrica inversa à razão entre dois lados conhecidos. O ângulo C é fixo em 90°, então um único cálculo resolve o triângulo: o segundo ângulo agudo é o complemento do primeiro.
Dado β: α = 90° - βDado α: β = 90° - α A função a usar depende de quais dois lados você conhece. As três razões principais são nomeadas em relação ao ângulo que você está calculando, e esse é o sentido de SOHCAHTOA: seno é oposto sobre hipotenusa, cosseno é adjacente sobre hipotenusa, tangente é oposto sobre adjacente.
Figura 3: Nomes dos lados em relação a um ângulo
Encontrar um ângulo usando o seno
Para encontrar um ângulo a partir do lado oposto e da hipotenusa, divida o lado oposto pela hipotenusa e aplique o seno inverso (arcsin).
sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c) Exemplo resolvido
Um lado a de 5 e uma hipotenusa c de 13 dão um ângulo α de 22.62°.
sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Encontrar um ângulo usando o cosseno
Para encontrar um ângulo a partir do lado adjacente e da hipotenusa, divida o lado adjacente pela hipotenusa e aplique o cosseno inverso (arccos).
cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c) Exemplo resolvido
Um lado b de 12 e uma hipotenusa c de 13 dão o mesmo ângulo α de 22.62°.
cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62° Encontrar um ângulo usando a tangente
Para encontrar um ângulo a partir dos dois catetos, divida o cateto oposto pelo cateto adjacente e aplique a tangente inversa (arctan). A tangente é a razão indicada quando a hipotenusa é desconhecida, porque usa os dois lados que não são a hipotenusa.
tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b) Exemplo resolvido
Catetos de 5 e 12 dão um ângulo α de 22.62° e um ângulo β de 67.38°.
tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38° Seno inverso, cosseno inverso, tangente inversa e cotangente inversa retornam todos o mesmo ângulo para o mesmo triângulo. Escolha aquela cujos dois lados você já tem, e a calculadora confirmará o valor com as outras razões. Para a regra de escolha em detalhe, veja SOHCAHTOA explicado, e para o método de encontrar ângulos em si, veja como encontrar um ângulo com trigonometria inversa.
| Triângulo | Cateto a | Cateto b | Hipotenusa | Ângulo A | Ângulo B | Área | Área relativa |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Qualquer múltiplo de um terno pitagórico é também um terno - multiplique 3-4-5 por dez e 30-40-50 continua sendo um triângulo retângulo perfeito.
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
Valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos que você tem mais chance de encontrar.
| Ângulo | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Soluções completas
Como resolver um triângulo retângulo
Para resolver um triângulo retângulo, calcule as 6 medidas (3 lados e 3 ângulos) a partir de 2 valores conhecidos. O ângulo C já é conhecido, 90°, o que deixa 5 incógnitas e 2 pistas.
Resolver um triângulo retângulo com dois lados
Para resolver um triângulo retângulo a partir de dois lados, siga três passos em ordem.
- Encontre o terceiro lado com o teorema de Pitágoras.
- Encontre o ângulo A com uma função trigonométrica inversa de dois lados conhecidos.
- Encontre o ângulo B como 90° menos o ângulo A.
Exemplo resolvido
Uma hipotenusa de 13 in (33.02 cm) e um cateto a de 5 in (12.7 cm) resolvem o triângulo por completo:
b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° O triângulo é 5, 12, 13, com ângulos de 22.62°, 67.38° e 90°.
Resolver um triângulo retângulo com um lado e um ângulo
Para resolver um triângulo retângulo a partir de um lado e de um ângulo agudo, encontre primeiro o segundo ângulo e depois use uma razão trigonométrica para cada lado que falta.
- Subtraia o ângulo agudo conhecido de 90° para obter o outro ângulo agudo.
- Multiplique ou divida o lado conhecido pelo seno, cosseno ou tangente para chegar a cada lado que falta.
- Confira o resultado com o teorema de Pitágoras.
Exemplo resolvido
Uma hipotenusa de 10 m (32.81 ft) e um ângulo α de 30° resolvem o triângulo por completo:
β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mverificação: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10² É possível resolver um triângulo retângulo com apenas um lado?
Não, um lado sozinho não resolve um triângulo retângulo. Um único comprimento fixa a escala do triângulo e deixa a forma em aberto, então infinitos triângulos retângulos compartilham esse lado. Combine o lado com um dos ângulos não retos, e o triângulo passa a ter solução por 6 caminhos:
- Multiplique a hipotenusa por sin(θ) para obter o comprimento do lado oposto ao ângulo.
- Multiplique a hipotenusa por cos(θ) para obter o lado adjacente ao ângulo.
- Divida o lado adjacente que não é a hipotenusa por cos(θ) para obter a hipotenusa.
- Multiplique o lado adjacente por tan(θ) para obter o lado oposto ao ângulo.
- Divida o lado oposto por sin(θ) para obter a hipotenusa.
- Divida o lado oposto por tan(θ) para obter o lado adjacente ao ângulo.
Um lado e a área também funcionam como par. Informe os dois à calculadora e o segundo cateto sai de área = a × b / 2, com a hipotenusa decorrendo do teorema de Pitágoras.
Valores derivados
Medidas do triângulo retângulo
Um triângulo retângulo resolvido fornece 5 medidas derivadas além dos seus lados e ângulos: área, perímetro, altura, inraio e circunraio. A calculadora mostra as 5 junto com os comprimentos dos lados.
Área de um triângulo retângulo
Para encontrar a área de um triângulo retângulo, multiplique os dois catetos e divida por 2. Os catetos são perpendiculares, então um serve de base e o outro de altura.
area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2 Um triângulo com catetos de 6 cm (2.36 in) e 8 cm (3.15 in) cobre 24 cm² (3.72 in²). A segunda forma usa a hipotenusa como base e a altura relativa a ela como altura, e retorna o mesmo valor.
Perímetro de um triângulo retângulo
Para encontrar o perímetro de um triângulo retângulo, some os comprimentos dos três lados.
P = a + b + cUm triângulo 3-4-5 medido em pés tem perímetro de 12 ft (3.66 m). Tendo apenas os dois catetos, calcule primeiro a hipotenusa, já que o perímetro precisa dos três lados.
Altura de um triângulo retângulo
A altura de um triângulo retângulo é a distância perpendicular do vértice do ângulo reto até a hipotenusa. Multiplique os catetos e divida pela hipotenusa.
h = (a × b) / cA altura divide a hipotenusa em dois segmentos, p e q, e cria dois triângulos menores semelhantes ao original. Três relações de média geométrica decorrem dessa semelhança, apresentadas por completo no guia sobre o teorema da altura do triângulo retângulo.
h² = p × qa² = p × cb² = q × c Figura 4: A altura e seus dois segmentos
Inraio e circunraio
O inraio r é o raio do maior círculo que cabe dentro do triângulo, e o circunraio R é o raio do círculo que passa pelos três vértices.
r = (a + b - c) / 2R = c / 2 O circunraio de um triângulo retângulo é sempre metade da hipotenusa, porque a hipotenusa é um diâmetro da circunferência circunscrita. Um triângulo 3-4-5 tem inraio de 1 e circunraio de 2.5.
- Área
- 6
- Perímetro
- 12
- Altura
- 2.4
- Inraio
- 1
- Circunraio
- 2.5
As cinco medidas derivadas de um triângulo retângulo 3-4-5.
Referência
Triângulos retângulos especiais
Há 4 triângulos retângulos que vale a pena memorizar: o triângulo 30-60-90, o triângulo 45-45-90, o triângulo 3-4-5 e o triângulo 5-12-13. Os dois primeiros têm conjuntos de ângulos e razões entre lados fixos, e os dois últimos são ternos pitagóricos com lados inteiros. O guia dos triângulos retângulos especiais compara os dois primeiros lado a lado.
Triângulo 30-60-90
O triângulo 30-60-90 tem lados na razão 1 : √3 : 2. O lado mais curto fica de frente para o ângulo de 30°, o lado médio fica de frente para o ângulo de 60°, e a hipotenusa fica de frente para o ângulo reto, medindo exatamente o dobro do lado mais curto.
Figura 5: Triângulo 30-60-90
Conhecer um lado de um triângulo 30-60-90 determina os outros dois. Um cateto menor de 5 cm (1.97 in) dá um cateto maior de 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) e uma hipotenusa de 10 cm (3.94 in). O triângulo é usado para calcular funções trigonométricas de múltiplos de π/6, e é daí que vêm os valores exatos sin(30°) = 1/2 e cos(30°) = √3/2.
Triângulo 45-45-90
O triângulo 45-45-90 tem lados na razão 1 : 1 : √2. Os dois catetos têm o mesmo comprimento, o que o torna o triângulo retângulo isósceles e lhe dá 1 eixo de simetria.
Figura 6: Triângulo 45-45-90
Em um triângulo 45-45-90, um cateto de 5 in (12.7 cm) dá uma hipotenusa de 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). Uma hipotenusa de 5 funciona no sentido contrário: divida por √2 para obter catetos de 3.54 cada. O triângulo 45-45-90 calcula funções trigonométricas de múltiplos de π/4, em que sin(45°) e cos(45°) são ambos iguais a √2/2.
Triângulo retângulo 3-4-5
O triângulo 3-4-5 é o menor terno pitagórico, com ângulos agudos de 36.87° e 53.13°. Os lados inteiros fazem dele a verificação padrão de um canto em esquadro em uma obra, um método explicado na regra do triângulo 3-4-5.
Figura 7: Triângulo 3-4-5 em uma malha unitária
Triângulo retângulo 5-12-13
O triângulo 5-12-13 é o segundo menor terno pitagórico, com ângulos agudos de 22.62° e 67.38°. Seus lados satisfazem 25 + 144 = 169, e sua forma estreita é útil em marcações onde um triângulo 3-4-5 é largo demais para o espaço.
Figura 8: Triângulo 5-12-13
Multiplicar um terno mantém o ângulo reto intacto. Multiplique 3-4-5 por 10 para obter 30-40-50, ou 5-12-13 por 2 para obter 10-24-26, e ambos continuam sendo triângulos retângulos com os mesmos ângulos agudos. Uma lista de referência mais completa está no guia de ternos pitagóricos.
| Triângulo | Cateto a | Cateto b | Hipotenusa | Ângulo A | Ângulo B | Área | Área relativa |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Qualquer múltiplo de um terno pitagórico é também um terno - multiplique 3-4-5 por dez e 30-40-50 continua sendo um triângulo retângulo perfeito.
Razões trigonométricas dos ângulos notáveis
Valores de seno, cosseno e tangente para os ângulos que você tem mais chance de encontrar.
| Ângulo | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Aplicações
Usos práticos dos triângulos retângulos
A geometria do triângulo retângulo aparece sempre que uma altura, uma distância ou um ângulo precisa ser calculado sem ser medido diretamente. Há 4 áreas que dependem dela todos os dias: construção, engenharia, navegação e reformas domésticas. Casos resolvidos estão reunidos em problemas com triângulos retângulos.
Figura 9: Três triângulos retângulos do dia a dia
Construção e arquitetura
Construtores usam triângulos retângulos para esquadrejar cantos, definir a inclinação do telhado e cortar as vigas de escadas. O método 3-4-5 esquadreja uma estrutura sem esquadro: meça 3 ft (0.91 m) ao longo de uma borda, 4 ft (1.22 m) ao longo da outra, e ajuste até a diagonal medir exatamente 5 ft (1.52 m).
A inclinação do telhado é a altura sobre o avanço do telhado, e o comprimento do caibro é a hipotenusa desse triângulo. Uma altura de 6 in para cada 12 in de avanço (152 mm por 305 mm) dá um caibro de √(6² + 12²) = 13.42 in por pé de avanço e um ângulo de inclinação de arctan(6 / 12) = 26.57°.
Engenharia e física
Engenheiros decompõem forças e velocidades em componentes perpendiculares usando triângulos retângulos. Uma força de 200 N aplicada a 35° acima da horizontal se decompõe em uma componente horizontal de 200 × cos(35°) = 163.8 N e uma componente vertical de 200 × sin(35°) = 114.7 N.
Os cálculos de inclinação seguem o mesmo padrão. Uma rampa para cadeira de rodas construída com gradiente de 1:12 sobe 1 in a cada 12 in de avanço (25.4 mm por 305 mm), o que corresponde a um ângulo de arctan(1 / 12) = 4.76°.
Navegação e topografia
Topógrafos medem um ângulo de elevação ou de depressão e o convertem em uma altura ou uma distância. Estar a 50 m (164 ft) de uma torre com um ângulo de elevação de 32° coloca a torre a 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) acima do nível dos olhos.
O cálculo de poligonal divide cada trecho do levantamento em componentes norte-sul e leste-oeste com seno e cosseno, e depois os soma. Pilotos e navegadores usam o mesmo método para converter um rumo e uma distância em uma variação de latitude e longitude.
Faça você mesmo e reformas
Projetos domésticos recorrem a triângulos retângulos quando uma diagonal importa. A diagonal de um retângulo é a hipotenusa de dois triângulos retângulos, então uma abertura de 40 in por 30 in (101.6 cm por 76.2 cm) tem uma diagonal de √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).
Comparar essa diagonal com a outra é a forma mais rápida de confirmar que uma estrutura, um deck ou um piso de azulejos está no esquadro. Diagonais iguais significam cantos em esquadro. Os triângulos retângulos também servem para dimensionar um suporte de TV na parede, o reforço de um canteiro e o ângulo de corte de um acabamento em meia-esquadria.
Perguntas