Asas

Apakah Segi Tiga Tepat?

Segi tiga tepat ialah segi tiga yang mempunyai satu sudut pedalaman tepat 90°. Sudut 90° itu ialah sudut tepat, dan sisi yang menghadapnya ialah hipotenus, sisi terpanjang antara ketiga-tiga sisi.

Segi tiga tepat mempunyai 3 sisi dan 3 sudut, dinamakan mengikut konvensyen yang digunakan oleh kalkulator ini dan kebanyakan buku teks:

  • Sisi a dan sisi b ialah kaki, dua sisi bukan hipotenus yang bertemu pada sudut tepat.
  • Sisi c ialah hipotenus, sisi yang bertentangan dengan sudut C.
  • Sudut A menghadap sisi a, sudut B menghadap sisi b, dan sudut C berukuran 90°.

Banyak sumber menulis dua sudut tirus sebagai α (alfa) dan β (beta), dan menggunakan θ (teta) untuk sudut yang sedang dibincangkan. Sudut A dan α menamakan ukuran yang sama, jadi formula yang ditulis dengan α berfungsi tanpa perubahan dengan sudut A.

Rajah 1: Anatomi segi tiga tepat

a b c h α β B A C
Kaki a dan b bertemu pada sudut tepat C. Hipotenus c menghadap sudut tepat itu. Altitud h diturunkan dari C secara serenjang ke atas c.

Dua peraturan berlaku dalam setiap segi tiga tepat:

  • Dua sudut tirus adalah pelengkap, jadi sudut A + sudut B = 90°. Ketiga-tiga sudut berjumlah 180° dan sudut C sudah mengambil 90° daripada jumlah itu.
  • Ketiga-tiga sisi memenuhi teorem Pythagoras, a² + b² = c². Hubungan ini juga berlaku secara terbalik: segi tiga yang kuasa dua sisi terpanjangnya sama dengan hasil tambah kuasa dua dua sisi yang lain ialah segi tiga bersudut tepat.

Segi tiga tepat ialah segi tiga tak sama kaki apabila ketiga-tiga sisinya berbeza panjang, dan segi tiga sama kaki apabila kedua-dua kakinya sama, yang memaksa kedua-dua sudut tirus menjadi 45°. Tiada segi tiga tepat yang sama sisi, kerana sisi yang sama memerlukan tiga sudut 60°.

Segi tiga tepat yang ketiga-tiga sisinya integer ialah segi tiga Pythagoras, dan tiga panjang itu membentuk tigaan Pythagoras seperti 3, 4, 5 atau 5, 12, 13.

Altitud h bermula dari bucu sudut tepat secara serenjang ke hipotenus. Altitud memotong segi tiga asal kepada 2 segi tiga yang lebih kecil, masing-masing serupa antara satu sama lain dan dengan segi tiga asalnya.

Segi tiga tepat ialah asas trigonometri. Sinus, kosinus, tangen dan kotangen ditakrifkan sebagai nisbah panjang sisi segi tiga tepat, sebab itulah kalkulator sisi dan sudut segi tiga tepat turut berfungsi sebagai alat untuk menilai fungsi trigonometri.

Menggunakan alat

Cara Menggunakan Kalkulator Segi Tiga Tepat

  1. Pilih tab. Selesaikan segi tiga mengendalikan setiap gabungan input, Teorem Pythagoras mengehadkan medan kepada tiga sisi, dan Segi tiga istimewa menskala segi tiga 30-60-90 atau 45-45-90 daripada satu ukuran.
  2. Taip nilai pertama yang diketahui ke dalam medannya: sisi a, sisi b, sisi c, sudut A, sudut B atau luas.
  3. Taip nilai kedua yang diketahui. Gambar rajah dilukis semula mengikut skala dan setiap medan yang tinggal diisi serta-merta.
  4. Baca keputusan: panjang sisi yang hilang, kedua-dua sudut tirus, luas, perimeter, altitud, jejari dalaman dan jejari luaran.
  5. Seret mana-mana pemegang ungu pada gambar rajah untuk membentuk semula segi tiga, atau tekan kekunci anak panah untuk perubahan satu langkah. Tetapkan kawalan perpuluhan kepada 0, 2, 4 atau 6 tempat.

Terdapat 6 gabungan input yang diterima oleh kalkulator:

  • dua kaki: sisi a dan sisi b
  • satu kaki dan hipotenus: sisi a dan sisi c, atau sisi b dan sisi c
  • satu kaki dan satu sudut tirus: sisi a dan sudut A, atau sisi b dan sudut B
  • hipotenus dan satu sudut tirus: sisi c dan sudut A, atau sisi c dan sudut B
  • satu kaki dan luas
  • hipotenus dan luas

Dua sudut ialah satu-satunya pasangan yang ditolak oleh kalkulator. Sudut A dan sudut B menetapkan bentuk segi tiga tetapi tidak menyatakan apa-apa tentang saiznya, jadi terdapat tak terhingga banyak segi tiga yang memenuhinya.

Unit adalah pilihan anda. Kalkulator ini tidak bergantung pada unit: masukkan 5 dan baca 5 semula, dalam inci, sentimeter, kaki atau meter, asalkan setiap panjang menggunakan unit yang sama. Hipotenus 13 ft (3.96 m) dan kaki 5 ft (1.52 m) memberikan kaki kedua 12 ft (3.66 m). Sudut dalam darjah. Untuk menukar kepada radian, darabkan dengan π/180: 45° ialah π/4 rad, 60° ialah π/3 rad, dan 90° ialah π/2 rad.

Panjang sisi

Cara Mencari Sisi yang Hilang bagi Segi Tiga Tepat

Untuk mencari sisi yang hilang bagi segi tiga tepat, gunakan teorem Pythagoras apabila dua sisi diketahui, atau nisbah trigonometri apabila satu sisi dan satu sudut tirus diketahui. Terdapat 3 titik permulaan, dan setiap satu mempunyai formulanya sendiri.

Cari Hipotenus Menggunakan Dua Sisi

Untuk mencari hipotenus daripada dua kaki, tambahkan kuasa dua kedua-dua kaki dan ambil punca kuasa dua.

c = √(a² + b²)

Formula ini ialah teorem Pythagoras yang disusun semula untuk c. Kuasa dua sesuatu kaki menghasilkan luas segi empat sama yang dibina pada kaki itu, dan dua segi empat sama yang lebih kecil bersama-sama sama dengan segi empat sama yang dibina pada hipotenus.

Rajah 2: Teorem Pythagoras sebagai luas

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5
Sebuah segi empat sama dilukis pada setiap sisi segi tiga 3-4-5. Dua segi empat sama yang lebih kecil mempunyai luas 9 dan 16 unit persegi, yang bersama-sama sama dengan 25 unit persegi bagi segi empat sama terbesar.

Contoh penyelesaian

Kaki 3 in (7.62 cm) dan kaki 4 in (10.16 cm) memberikan hipotenus 5 in (12.7 cm).

c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in

Cari Kaki Menggunakan Hipotenus dan Satu Sisi

Untuk mencari kaki daripada hipotenus dan kaki yang satu lagi, tolak kuasa dua kaki yang diketahui daripada kuasa dua hipotenus dan ambil punca kuasa dua.

a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)

Contoh penyelesaian

Hipotenus 13 cm (5.12 in) dan kaki 5 cm (1.97 in) memberikan kaki kedua 12 cm (4.72 in).

b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm

Hipotenus mesti lebih panjang daripada mana-mana kaki. Nilai c yang lebih kecil daripada atau sama dengan kaki yang diketahui menghasilkan nombor negatif di bawah punca kuasa dua, dan kalkulator melaporkan percanggahan itu dan bukannya memberikan angka.

Cari Sisi Menggunakan Sudut

Untuk mencari sisi daripada sudut dan satu sisi yang diketahui, pilih nisbah trigonometri yang menghubungkan kedua-duanya. Terdapat 6 formula, dan formula yang betul bergantung pada sisi yang anda ada.

a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α)

Contoh penyelesaian

Hipotenus 10 m (32.81 ft) dengan α = 30° memberikan kedua-dua kaki secara terus.

a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m

Hukum sinus mencapai jawapan yang sama. Dalam mana-mana segi tiga a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), dan segi tiga tepat menetapkan sin(C) = sin(90°) = 1, yang meringkaskan hukum sinus kepada c = a / sin(A). Trigonometri segi tiga tepat ialah jalan pintas, bukan sistem yang berasingan.

Jika luas dan satu kaki diberi dan bukannya sudut, bahagikan dua kali luas dengan kaki yang diketahui. Segi tiga tepat ialah segi tiga tak sama kaki yang satu kakinya bertindak sebagai tapak manakala kaki yang lain bertindak sebagai tinggi, jadi formula luas segi tiga menjadi luas = a × b / 2, dan b = 2 × luas / a.

Sudut

Cara Mencari Sudut bagi Segi Tiga Tepat

Untuk mencari sudut bagi segi tiga tepat, gunakan fungsi trigonometri songsang pada nisbah dua sisi yang diketahui. Sudut C tetap pada 90°, jadi satu pengiraan sudah menyelesaikan segi tiga: sudut tirus kedua ialah pelengkap bagi sudut pertama.

Diberi β: α = 90° - βDiberi α: β = 90° - α

Fungsi yang digunakan bergantung pada dua sisi yang anda tahu. Tiga nisbah utama dinamakan berdasarkan sudut yang sedang anda cari, dan itulah maksud SOHCAHTOA: sinus ialah bertentangan atas hipotenus, kosinus ialah bersebelahan atas hipotenus, tangen ialah bertentangan atas bersebelahan.

Rajah 3: Menamakan sisi berdasarkan sudut

bertentangan (a) bersebelahan (b) hipotenus (c) θ
Sisi yang sama bertukar nama mengikut sudut yang dikaji. Diukur dari θ, sisi a ialah bertentangan, sisi b ialah bersebelahan, dan sisi c kekal sebagai hipotenus.

Cari Sudut Menggunakan Sinus

Untuk mencari sudut daripada sisi bertentangan dan hipotenus, bahagikan sisi bertentangan dengan hipotenus dan ambil sinus songsang (arcsin).

sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c)

Contoh penyelesaian

Sisi a bernilai 5 dan hipotenus c bernilai 13 memberikan sudut α sebanyak 22.62°.

sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

Cari Sudut Menggunakan Kosinus

Untuk mencari sudut daripada sisi bersebelahan dan hipotenus, bahagikan sisi bersebelahan dengan hipotenus dan ambil kosinus songsang (arccos).

cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c)

Contoh penyelesaian

Sisi b bernilai 12 dan hipotenus c bernilai 13 memberikan sudut α yang sama, iaitu 22.62°.

cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62°

Cari Sudut Menggunakan Tangen

Untuk mencari sudut daripada dua kaki, bahagikan kaki bertentangan dengan kaki bersebelahan dan ambil tangen songsang (arctan). Tangen ialah nisbah yang digunakan apabila hipotenus tidak diketahui, kerana ia menggunakan dua sisi bukan hipotenus.

tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b)

Contoh penyelesaian

Kaki 5 dan 12 memberikan sudut α sebanyak 22.62° dan sudut β sebanyak 67.38°.

tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38°

Sinus songsang, kosinus songsang, tangen songsang dan kotangen songsang semuanya memberikan sudut yang sama bagi segi tiga yang sama. Pilih fungsi yang dua sisinya sudah anda ada, dan kalkulator akan mengesahkan nilai itu dengan nisbah yang lain. Untuk peraturan memilih secara terperinci, lihat penjelasan SOHCAHTOA, dan untuk kaedah mencari sudut itu sendiri, lihat mencari sudut dengan trigonometri songsang.

Nisbah trigonometri bagi sudut piawai

Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sudut yang paling kerap anda temui.

Nilai sinus, kosinus dan tangen bagi sudut yang paling kerap anda temui.
Sudut sin kos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

Penyelesaian penuh

Cara Menyelesaikan Segi Tiga Tepat

Untuk menyelesaikan segi tiga tepat, kira kesemua 6 ukuran (3 sisi dan 3 sudut) daripada 2 nilai yang diketahui. Sudut C sudah diketahui iaitu 90°, jadi tinggal 5 anu dan 2 petunjuk.

Menyelesaikan Segi Tiga Tepat dengan Dua Sisi

Untuk menyelesaikan segi tiga tepat daripada dua sisi, jalankan tiga langkah mengikut urutan.

  1. Cari sisi ketiga dengan teorem Pythagoras.
  2. Cari sudut A dengan fungsi trigonometri songsang bagi dua sisi yang diketahui.
  3. Cari sudut B sebagai 90° tolak sudut A.

Contoh penyelesaian

Hipotenus 13 in (33.02 cm) dan kaki a 5 in (12.7 cm) diselesaikan sepenuhnya:

b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

Segi tiga itu ialah 5, 12, 13 dengan sudut 22.62°, 67.38° dan 90°.

Menyelesaikan Segi Tiga Tepat dengan Satu Sisi dan Satu Sudut

Untuk menyelesaikan segi tiga tepat daripada satu sisi dan satu sudut tirus, cari sudut kedua dahulu, kemudian gunakan nisbah trigonometri bagi setiap sisi yang hilang.

  1. Tolak sudut tirus yang diketahui daripada 90° untuk mendapatkan sudut tirus yang satu lagi.
  2. Darab atau bahagikan sisi yang diketahui dengan sinus, kosinus atau tangen untuk mendapatkan setiap sisi yang hilang.
  3. Semak keputusan dengan teorem Pythagoras.

Contoh penyelesaian

Hipotenus 10 m (32.81 ft) dan sudut α sebanyak 30° diselesaikan sepenuhnya:

β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 msemak: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10²

Bolehkah Segi Tiga Tepat Diselesaikan dengan Satu Sisi Sahaja?

Tidak, satu sisi sahaja tidak dapat menyelesaikan segi tiga tepat. Satu panjang menetapkan skala segi tiga tetapi membiarkan bentuknya terbuka, jadi tak terhingga banyak segi tiga tepat berkongsi sisi itu. Gandingkan sisi itu dengan salah satu sudut bukan tepat, dan segi tiga boleh diselesaikan melalui 6 cara:

  1. Darabkan hipotenus dengan sin(θ) untuk mendapatkan panjang sisi yang bertentangan dengan sudut.
  2. Darabkan hipotenus dengan cos(θ) untuk mendapatkan sisi yang bersebelahan dengan sudut.
  3. Bahagikan sisi bersebelahan bukan hipotenus dengan cos(θ) untuk mendapatkan hipotenus.
  4. Darabkan sisi bersebelahan dengan tan(θ) untuk mendapatkan sisi yang bertentangan dengan sudut.
  5. Bahagikan sisi bertentangan dengan sin(θ) untuk mendapatkan hipotenus.
  6. Bahagikan sisi bertentangan dengan tan(θ) untuk mendapatkan sisi yang bersebelahan dengan sudut.

Satu sisi dan luas juga boleh digunakan sebagai pasangan. Masukkan kedua-duanya ke dalam kalkulator dan kaki kedua terhasil daripada luas = a × b / 2, dengan hipotenus menyusul daripada teorem Pythagoras.

Nilai terbitan

Ukuran Segi Tiga Tepat

Segi tiga tepat yang telah diselesaikan menghasilkan 5 ukuran terbitan selain sisi dan sudutnya: luas, perimeter, altitud, jejari dalaman dan jejari luaran. Kalkulator melaporkan kesemua 5 ukuran itu bersama panjang sisi.

Luas Segi Tiga Tepat

Untuk mencari luas segi tiga tepat, darabkan kedua-dua kaki dan bahagikan dengan 2. Kaki-kaki itu serenjang, jadi satu berfungsi sebagai tapak dan satu lagi sebagai tinggi.

area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2

Segi tiga dengan kaki 6 cm (2.36 in) dan 8 cm (3.15 in) meliputi 24 cm² (3.72 in²). Bentuk kedua menggunakan hipotenus sebagai tapak dan altitud sebagai tinggi, dan memberikan angka yang sama.

Perimeter Segi Tiga Tepat

Untuk mencari perimeter segi tiga tepat, tambahkan ketiga-tiga panjang sisi.

P = a + b + c

Segi tiga 3-4-5 yang diukur dalam kaki mempunyai perimeter 12 ft (3.66 m). Jika hanya dua kaki diberi, kira hipotenus dahulu, kerana perimeter memerlukan ketiga-tiga sisi.

Altitud Segi Tiga Tepat

Altitud segi tiga tepat ialah jarak serenjang dari bucu sudut tepat ke hipotenus. Darabkan kedua-dua kaki dan bahagikan dengan hipotenus.

h = (a × b) / c

Altitud membahagikan hipotenus kepada dua segmen, p dan q, dan menghasilkan dua segi tiga lebih kecil yang serupa dengan segi tiga asal. Tiga hubungan min geometri terhasil daripada keserupaan itu, dihuraikan sepenuhnya dalam panduan teorem altitud segi tiga tepat.

h² = p × qa² = p × cb² = q × c

Rajah 4: Altitud dan dua segmennya

a b h q p
Altitud h bertemu hipotenus pada sudut tepat dan membahagikannya kepada segmen p dan q. Setiap segi tiga yang lebih kecil serupa dengan segi tiga asal.

Jejari Dalaman dan Jejari Luaran

Jejari dalaman r ialah jejari bulatan terbesar yang muat di dalam segi tiga, dan jejari luaran R ialah jejari bulatan yang melalui ketiga-tiga bucu.

r = (a + b - c) / 2R = c / 2

Jejari luaran segi tiga tepat sentiasa separuh daripada hipotenus, kerana hipotenus ialah diameter bulatan terlilit. Segi tiga 3-4-5 mempunyai jejari dalaman 1 dan jejari luaran 2.5.

Luas
6
Perimeter
12
Altitud
2.4
Jejari dalaman
1
Jejari luaran
2.5

Lima ukuran terbitan bagi segi tiga tepat 3-4-5.

Rujukan

Segi Tiga Tepat Istimewa

Terdapat 4 segi tiga tepat yang wajar dihafal: segi tiga 30-60-90, segi tiga 45-45-90, segi tiga 3-4-5 dan segi tiga 5-12-13. Dua yang pertama mempunyai set sudut tetap dan nisbah sisi tetap, dan dua yang terakhir ialah tigaan Pythagoras dengan sisi nombor bulat. Panduan segi tiga tepat istimewa membandingkan dua yang pertama secara bersebelahan.

Segi Tiga 30-60-90

Segi tiga 30-60-90 mempunyai sisi dalam nisbah 1 : √3 : 2. Sisi terpendek menghadap sudut 30°, sisi tengah menghadap sudut 60°, dan hipotenus menghadap sudut tepat dengan panjang tepat dua kali sisi terpendek.

Rajah 5: Segi tiga 30-60-90

1 √3 2 30° 60°
Separuh daripada segi tiga sama sisi. Satu ukuran menskala ketiga-tiga sisi, kerana nisbah 1 : √3 : 2 tidak pernah berubah.

Mengetahui satu sisi segi tiga 30-60-90 menentukan dua sisi yang lain. Kaki pendek 5 cm (1.97 in) memberikan kaki panjang 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) dan hipotenus 10 cm (3.94 in). Segi tiga ini digunakan untuk menilai fungsi trigonometri bagi gandaan π/6, dan dari situlah datangnya nilai tepat sin(30°) = 1/2 dan cos(30°) = √3/2.

Segi Tiga 45-45-90

Segi tiga 45-45-90 mempunyai sisi dalam nisbah 1 : 1 : √2. Kedua-dua kakinya sama panjang, menjadikannya segi tiga tepat sama kaki dengan 1 garis simetri.

Rajah 6: Segi tiga 45-45-90

1 1 √2 45° 45°
Segi tiga tepat sama kaki. Kaki yang sama panjang memaksa kedua-dua sudut tirus menjadi 45°, dan hipotenus berukuran a√2.

Dalam segi tiga 45-45-90, kaki 5 in (12.7 cm) memberikan hipotenus 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). Hipotenus 5 berfungsi secara terbalik: bahagikan dengan √2 untuk kaki 3.54 setiap satu. Segi tiga 45-45-90 menilai fungsi trigonometri bagi gandaan π/4, dengan sin(45°) dan cos(45°) kedua-duanya sama dengan √2/2.

Segi Tiga Tepat 3-4-5

Segi tiga 3-4-5 ialah tigaan Pythagoras terkecil, dengan sudut tirus 36.87° dan 53.13°. Sisi nombor bulat menjadikannya semakan standard bagi sudut tepat di tapak binaan, kaedah yang diterangkan dalam peraturan segi tiga 3-4-5.

Rajah 7: Segi tiga 3-4-5 pada grid unit

3 4 5 36.87° 53.13°
Tiga unit ke atas, empat unit melintang, lima unit di sepanjang hipotenus. Setiap gandaan 3-4-5, seperti 6-8-10 atau 30-40-50, juga merupakan segi tiga tepat.

Segi Tiga Tepat 5-12-13

Segi tiga 5-12-13 ialah tigaan Pythagoras kedua terkecil, dengan sudut tirus 22.62° dan 67.38°. Sisinya memenuhi 25 + 144 = 169, dan bentuknya yang sempit sesuai untuk kerja susun atur apabila segi tiga 3-4-5 terlalu lebar untuk ruang itu.

Rajah 8: Segi tiga 5-12-13

5 12 13 22.62° 67.38°
Satu tigaan Pythagoras yang panjang dan sempit dengan sudut 22.62° di hujung jauh hipotenus.

Menskala sesuatu tigaan mengekalkan sudut tepat. Darabkan 3-4-5 dengan 10 untuk 30-40-50, atau 5-12-13 dengan 2 untuk 10-24-26, dan kedua-duanya kekal sebagai segi tiga tepat dengan sudut tirus yang sama. Senarai rujukan yang lebih lengkap terdapat dalam panduan tigaan Pythagoras.

Jadual segi tiga tepat lazim beserta sisi, sudut tirus dan luasnya.
Segi tiga Kaki a Kaki b Hipotenus Sudut A Sudut B Luas Luas relatif
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

Sebarang gandaan tigaan Pythagoras juga merupakan tigaan - skalakan 3-4-5 sebanyak sepuluh kali dan 30-40-50 masih merupakan segi tiga tepat yang sempurna.

Aplikasi

Kegunaan Segi Tiga Tepat dalam Dunia Sebenar

Geometri segi tiga tepat muncul di mana-mana sahaja tinggi, jarak atau sudut perlu dikira tanpa mengukurnya secara terus. Terdapat 4 bidang yang bergantung padanya setiap hari: pembinaan, kejuruteraan, navigasi dan pembaikan rumah. Contoh penyelesaian dikumpulkan dalam masalah berayat segi tiga tepat.

Rajah 9: Tiga segi tiga tepat harian

naik larian Kecerunan bumbung tinggi tapak tangga Sudut tangga naik larian tanjakan Kecerunan tanjakan
Kecerunan bumbung, kedudukan tangga dan kecerunan tanjakan masing-masing menjadi satu segi tiga tepat dengan dua nilai yang diketahui.

Pembinaan dan Seni Bina

Pembina menggunakan segi tiga tepat untuk memastikan sudut tepat, menetapkan kecerunan bumbung dan memotong rasuk tangga. Kaedah 3-4-5 memastikan rangka bersudut tepat tanpa sesiku: ukur 3 ft (0.91 m) di sepanjang satu tepi, 4 ft (1.22 m) di sepanjang tepi yang lain, dan laraskan sehingga pepenjuru menunjukkan tepat 5 ft (1.52 m).

Kecerunan bumbung ialah naik atas larian bumbung, dan panjang kasau ialah hipotenus segi tiga itu. Naik 6 in bagi setiap 12 in larian (152 mm bagi setiap 305 mm) memberikan kasau √(6² + 12²) = 13.42 in bagi setiap kaki larian dan sudut kecerunan arctan(6 / 12) = 26.57°.

Kejuruteraan dan Fizik

Jurutera memecahkan daya dan halaju kepada komponen serenjang menggunakan segi tiga tepat. Daya 200 N yang dikenakan pada 35° di atas garis mengufuk terlerai kepada komponen mengufuk 200 × cos(35°) = 163.8 N dan komponen menegak 200 × sin(35°) = 114.7 N.

Pengiraan kecerunan mengikut corak yang sama. Tanjakan kerusi roda yang dibina dengan kecerunan 1:12 naik 1 in bagi setiap 12 in larian (25.4 mm bagi setiap 305 mm), iaitu sudut arctan(1 / 12) = 4.76°.

Navigasi dan Ukur Tanah

Juruukur mengukur sudut dongakan atau sudut tunduk dan menukarkannya kepada tinggi atau jarak. Berdiri 50 m (164 ft) dari sebuah menara dengan sudut dongakan 32° meletakkan puncak menara pada 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) di atas paras mata.

Pengurangan terabas memecahkan setiap garis ukur kepada komponen utara-selatan dan timur-barat dengan sinus dan kosinus, kemudian menjumlahkannya. Juruterbang dan pelaut menggunakan kaedah yang sama untuk menukarkan arah haluan dan jarak kepada perubahan latitud dan longitud.

DIY dan Pembaikan Rumah

Projek rumah menggunakan segi tiga tepat apabila pepenjuru penting. Pepenjuru sebuah segi empat tepat ialah hipotenus bagi dua segi tiga tepat, jadi bukaan 40 in kali 30 in (101.6 cm kali 76.2 cm) mempunyai pepenjuru √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).

Membandingkan pepenjuru itu dengan pasangannya ialah cara terpantas untuk memastikan rangka, dek atau lantai berjubin bersudut tepat. Pepenjuru yang sama bermakna sudut tepat. Segi tiga tepat juga digunakan untuk menentukan saiz pemasangan TV di dinding, penyokong batas taman dan sudut potongan pada kemasan bersambung serong.

Soalan

Soalan Lazim

Apakah nama sisi terpanjang dalam segi tiga tepat?

Sisi terpanjang dalam segi tiga tepat dipanggil hipotenus. Hipotenus terletak bertentangan dengan sudut 90° dan dilabelkan sebagai sisi c. Panjangnya diperoleh daripada kedua-dua kaki sebagai c = √(a² + b²), menjadikannya lebih panjang daripada sisi a dan sisi b dalam setiap segi tiga tepat.

Berapa banyak paksi simetri yang ada pada segi tiga tepat?

Segi tiga tepat mempunyai 1 paksi simetri apabila ia sama kaki dan 0 paksi simetri dalam setiap kes yang lain. Kes sama kaki ialah segi tiga 45-45-90, yang mana kedua-dua kakinya sama panjang dan paksi simetrinya terbentang dari sudut tepat ke titik tengah hipotenus. Segi tiga tepat tak sama sisi seperti 3-4-5 tidak mempunyai sebarang paksi simetri.

Bagaimanakah saya mencari hipotenus segi tiga tepat?

Untuk mencari hipotenus, ambil punca kuasa dua bagi hasil tambah kuasa dua kedua-dua kaki: c = √(a² + b²). Bagi kaki 3 dan 4, c = √(9 + 16) = √25 = 5. Jika yang diberi ialah satu kaki dan satu sudut tirus dan bukannya dua sisi, gunakan c = a / sin(α) atau c = b / cos(α).

Bolehkah segi tiga tepat mempunyai dua sisi yang sama?

Ya, segi tiga tepat boleh mempunyai dua sisi yang sama. Kedua-dua kaki boleh sama panjang, dan ini menghasilkan segi tiga tepat sama kaki 45-45-90 dengan hipotenus a√2 serta dua sudut tirus 45°. Ketiga-tiga sisi pula tidak boleh sama, kerana sisi yang sama memaksa ketiga-tiga sudut menjadi 60° sedangkan segi tiga tepat memerlukan satu sudut 90°.

Adakah semua segi tiga tepat serupa?

Tidak, bukan semua segi tiga tepat serupa. Dua segi tiga tepat hanya serupa apabila sudut tirusnya sepadan, atau secara setara apabila nisbah dua sisi yang sepadan adalah sama. Segi tiga 30-60-90 dan segi tiga 45-45-90 kedua-duanya segi tiga tepat dan tidak serupa, kerana nisbah sisinya iaitu 1:√3:2 dan 1:1:√2 berbeza.