Перейти к основному содержанию

Интерактивный решатель задач по геометрии

Калькулятор прямоугольного треугольника

Два значения на входе. Весь треугольник на выходе.

Введите любые два известных значения, и калькулятор решит весь прямоугольный треугольник за вас — оба катета, гипотенузу, оба острых угла, площадь, периметр и высоту. Диаграмма перерисовывается в масштабе по мере ввода, а сам треугольник можно перетаскивать, чтобы увидеть, как меняется каждая величина.

Живая диаграмма

Начерчено в масштабе
Живая диаграмма a b c 90°

Перетащите любой фиолетовый маркер, чтобы изменить форму треугольника. Используйте стрелки для точной пошаговой настройки.

Попробуйте классический треугольник

Ваши измерения

единицы
единицы
единицы
°
°
единицы²
Р- афиксировано на 90°

Производные результаты

Периметр
- единицы
Площадь
- единицы²
Высота h
- единицы
Радиус вписанной окружности r
- единицы
Радиус описанной окружности R
- единицы

Как пользоваться калькулятором

  1. 1 Введите то, что известно Укажите любые два значения — две стороны, сторону и острый угол или сторону и площадь.
  2. 2 Прочитайте полное решение Все остальные стороны, углы и производные величины заполняются сразу же и округляются до выбранной вами точности.
  3. 3 Перетаскивайте и исследуйте Возьмите маркер на диаграмме, чтобы изменить форму треугольника, и наблюдайте, как числа меняются в реальном времени.

Все значения вычисляются в вашем браузере. Ничто из введённого не отправляется, не записывается и не сохраняется.

Всё, что калькулятор вычисляет за вас

Формулы, которые стоят за ответами

Прямоугольный треугольник задаётся всего двумя независимыми величинами. Как только вы их укажете, все остальные величины следуют из теоремы Пифагора и основных тригонометрических соотношений. Вот что именно происходит за диаграммой.

Теорема Пифагора

c² = a² + b²

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов. После преобразования формула даёт любую недостающую сторону: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²), b = √(c² − a²).

Тригонометрические соотношения

sin A = a / c · cos A = b / c · tan A = a / b

Синус — это отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего катета к гипотенузе, тангенс — противолежащего катета к прилежащему. Обратные функции (asin, acos, atan) позволяют найти угол по двум сторонам.

Дополнительные углы

A + B = 90°

Сумма двух острых углов всегда равна 90°, потому что третий угол — прямой. Р- ная один острый угол, вы сразу знаете и второй.

Площадь и периметр

Area = (a · b) / 2 · P = a + b + c

Катеты перпендикулярны, поэтому выступают в роли основания и высоты. Периметр — это просто сумма всех трёх сторон.

Высота к гипотенузе

h = (a · b) / c

Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два меньших треугольника, подобных исходному.

Радиусы вписанной и описанной окружностей

r = (a + b − c) / 2 · R = c / 2

У описанной окружности прямоугольного треугольника гипотенуза всегда служит диаметром — прямое следствие теоремы Фалеса.

Метод

Как работает Калькулятор прямоугольного треугольника

Решатель никогда не гадает. Он выбирает точное соотношение, соответствующее введённой вами паре значений, а затем выводит из результата всё остальное.

  1. 1

    Он отслеживает два последних ввода

    У прямоугольного треугольника ровно две степени свободы. Калькулятор запоминает два последних поля, к которым вы обращались, и считает их известной парой, поэтому ваш самый свежий ввод всегда учитывается.

  2. 2

    Он выбирает нужное соотношение

    Два катета решаются теоремой Пифагора. Сторона и угол — через синус, косинус или тангенс. Сторона и площадь — через соотношение основания и высоты. Для каждого случая есть решение в замкнутой форме: без итераций и без приближений.

  3. 3

    Он проверяет данные перед построением

    Гипотенуза короче катета, неположительная длина или острый угол вне диапазона 0°–90° отклоняются с понятным сообщением вместо вводящего в заблуждение результата.

  4. 4

    Он перерисовывает диаграмму в масштабе

    SVG-диаграмма перестраивается по решённому треугольнику при каждом изменении с сохранением истинных пропорций, поэтому треугольник 3-4-5 действительно выглядит как треугольник 3-4-5.

Всё работает локально в вашем браузере. Ни одно введённое вами значение никуда не отправляется.

Справочные данные

Распространённые прямоугольные треугольники с первого взгляда

Пифагоровы тройки и два особых треугольника, которые встречаются почти на каждом экзамене по геометрии. Полоса показывает площадь каждого треугольника относительно наибольшей записи в таблице.

Таблица распространённых прямоугольных треугольников с их сторонами, острыми углами и площадями.
Треугольник Катет a Катет b Гипотенуза Угол A Угол B Площадь Относительная площадь
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

Любое кратное пифагоровой тройки само является тройкой — умножьте 3-4-5 на десять, и 30-40-50 останется идеальным прямоугольным треугольником.

Тригонометрические значения для стандартных углов

Р- начения синуса, косинуса и тангенса для углов, которые встречаются чаще всего.

Р- начения синуса, косинуса и тангенса для углов, которые встречаются чаще всего.
Угол sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

Вопросы

Часто задаваемые вопросы

То, о чём чаще всего спрашивают при решении прямоугольных треугольников.

Как называется самая длинная сторона прямоугольного треугольника?

Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой. Гипотенуза лежит напротив угла 90° и обозначается как сторона c. Её длина находится по двум катетам как c = √(a² + b²), поэтому в любом прямоугольном треугольнике она длиннее стороны a и стороны b.

Сколько осей симметрии у прямоугольного треугольника?

У прямоугольного треугольника 1 ось симметрии, если он равнобедренный, и 0 осей симметрии во всех остальных случаях. Равнобедренный случай - это треугольник 45-45-90, у которого катеты равны, а ось симметрии проходит от прямого угла к середине гипотенузы. У разностороннего прямоугольного треугольника, например 3-4-5, осей симметрии нет.

Как найти гипотенузу прямоугольного треугольника?

Чтобы найти гипотенузу, извлеките квадратный корень из суммы квадратов двух катетов: c = √(a² + b²). Для катетов 3 и 4 получаем c = √(9 + 16) = √25 = 5. Если вместо двух сторон известны катет и острый угол, используйте c = a / sin(α) или c = b / cos(α).

Может ли у прямоугольного треугольника быть две равные стороны?

Да, у прямоугольного треугольника могут быть две равные стороны. Катеты могут быть равны, и тогда получается равнобедренный прямоугольный треугольник 45-45-90 с гипотенузой a√2 и двумя острыми углами по 45°. А все три стороны равными быть не могут, потому что равные стороны требуют трёх углов по 60°, тогда как прямоугольному треугольнику нужен угол 90°.

Все ли прямоугольные треугольники подобны?

Нет, не все прямоугольные треугольники подобны. Два прямоугольных треугольника подобны, только если их острые углы совпадают или, что равносильно, если отношение двух соответственных сторон одинаково. Треугольник 30-60-90 и треугольник 45-45-90 оба прямоугольные и не подобны, потому что отношения их сторон 1:√3:2 и 1:1:√2 различаются.

Два значения на входе. Весь треугольник на выходе.

Решите любой прямоугольный треугольник мгновенно. Введите два известных значения и получите все стороны, углы, площадь, периметр и высоту вместе с живой интерактивной диаграммой.

Открыть калькулятор