Основы
Что такое прямоугольный треугольник?
Прямоугольный треугольник является треугольником, у которого один внутренний угол равен ровно 90°. Угол 90° называется прямым, а сторона напротив него называется гипотенузой и является самой длинной из трёх сторон.
У прямоугольного треугольника 3 стороны и 3 угла, и их обозначения следуют соглашению, общему для этого калькулятора и большинства учебников:
- Сторона a и сторона b являются катетами, то есть двумя сторонами, отличными от гипотенузы, которые сходятся в прямом угле.
- Сторона c является гипотенузой, стороной напротив угла C.
- Угол A лежит напротив стороны a, угол B лежит напротив стороны b, а угол C равен 90°.
Во многих источниках два острых угла обозначают α (альфа) и β (бета), а θ (тета) используют для того угла, о котором идёт речь. Угол A и α обозначают одну и ту же величину, поэтому формула, записанная через α, без изменений работает и с углом A.
Рисунок 1: Строение прямоугольного треугольника
В любом прямоугольном треугольнике выполняются два правила:
- Два острых угла дополняют друг друга, поэтому угол A + угол B = 90°. Сумма трёх углов равна 180°, и угол C уже занимает 90° из этой суммы.
- Три стороны удовлетворяют теореме Пифагора, a² + b² = c². Верно и обратное: треугольник, у которого квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух других, является прямоугольным.
Прямоугольный треугольник разносторонний, если все три стороны разной длины, и равнобедренный, если два катета равны, что делает оба острых угла равными 45°. Ни один прямоугольный треугольник не бывает равносторонним, потому что равные стороны требуют трёх углов по 60°.
Прямоугольный треугольник, все три стороны которого целые числа, называется пифагоровым треугольником, а три длины образуют пифагорову тройку, например 3, 4, 5 или 5, 12, 13.
Высота h идёт из вершины прямого угла перпендикулярно гипотенузе. Высота разрезает исходный треугольник на 2 меньших треугольника, каждый из которых подобен другому и треугольнику, из которого они получены.
Прямоугольные треугольники лежат в основе тригонометрии. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются как отношения длин сторон прямоугольного треугольника, поэтому калькулятор сторон и углов прямоугольного треугольника одновременно служит инструментом для вычисления тригонометрических функций.
Работа с инструментом
Как пользоваться калькулятором прямоугольного треугольника
- Выберите вкладку. Решить треугольник обрабатывает любую комбинацию входных данных, Теорема Пифагора оставляет только поля для трёх сторон, а Особые треугольники масштабирует треугольник 30-60-90 или 45-45-90 по одному измерению.
- Введите первое известное значение в его поле: сторона a, сторона b, сторона c, угол A, угол B или площадь.
- Введите второе известное значение. Диаграмма перерисовывается в масштабе, и все остальные поля заполняются сразу.
- Прочитайте результаты: недостающие длины сторон, оба острых угла, площадь, периметр, высоту, радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности.
- Перетащите любой фиолетовый маркер на диаграмме, чтобы изменить форму треугольника, или нажимайте клавиши со стрелками для пошаговых изменений. Установите количество знаков после запятой: 0, 2, 4 или 6.
Калькулятор принимает 6 комбинаций входных данных:
- два катета: сторона a и сторона b
- один катет и гипотенуза: сторона a и сторона c или сторона b и сторона c
- один катет и острый угол: сторона a и угол A или сторона b и угол B
- гипотенуза и острый угол: сторона c и угол A или сторона c и угол B
- один катет и площадь
- гипотенуза и площадь
Два угла являются единственной парой, которую калькулятор отклоняет. Угол A и угол B задают форму треугольника и ничего не говорят о его размере, поэтому им удовлетворяет бесконечно много треугольников.
Длины сторон
Как найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника
Чтобы найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника, примените теорему Пифагора, если известны две стороны, или тригонометрическое соотношение, если известны одна сторона и один острый угол. Существует 3 исходных случая, и у каждого своя формула.
Как найти гипотенузу по двум сторонам
Чтобы найти гипотенузу по двум катетам, сложите квадраты катетов и извлеките квадратный корень.
c = √(a² + b²)Эта формула представляет собой теорему Пифагора, выраженную относительно c. Квадрат катета равен площади квадрата, построенного на этом катете, а два меньших квадрата вместе равны квадрату, построенному на гипотенузе.
Рисунок 2: Теорема Пифагора через площади
Пример решения
Катет 3 in (7.62 cm) и катет 4 in (10.16 cm) дают гипотенузу 5 in (12.7 cm).
c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in Как найти катет по гипотенузе и одной стороне
Чтобы найти катет по гипотенузе и другому катету, вычтите квадрат известного катета из квадрата гипотенузы и извлеките квадратный корень.
a = √(c² - b²)b = √(c² - a²) Пример решения
Гипотенуза 13 cm (5.12 in) и катет 5 cm (1.97 in) дают второй катет 12 cm (4.72 in).
b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm Гипотенуза должна быть длиннее любого из катетов. Значение c, меньшее или равное известному катету, даёт отрицательное число под корнем, и калькулятор сообщает о противоречии вместо того, чтобы выдать результат.
Как найти сторону по углу
Чтобы найти сторону по углу и одной известной стороне, выберите тригонометрическое соотношение, которое их связывает. Существует 6 формул, и нужная зависит от того, какая сторона вам известна.
a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α) Пример решения
Гипотенуза 10 m (32.81 ft) при α = 30° сразу даёт оба катета.
a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m Теорема синусов приводит к тем же ответам. В любом треугольнике a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), а в прямоугольном треугольнике sin(C) = sin(90°) = 1, что сводит теорему синусов к c = a / sin(A). Тригонометрия прямоугольного треугольника является сокращённым путём, а не отдельной системой.
Если вместо угла известны площадь и один катет, разделите удвоенную площадь на известный катет. Прямоугольный треугольник является разносторонним треугольником, у которого один катет служит основанием, а другой высотой, поэтому формула площади треугольника упрощается до площадь = a × b / 2, и b = 2 × площадь / a.
Углы
Как найти углы прямоугольного треугольника
Чтобы найти углы прямоугольного треугольника, примените обратную тригонометрическую функцию к отношению двух известных сторон. Угол C всегда равен 90°, поэтому одно вычисление решает задачу: второй острый угол дополняет первый до 90°.
Дано β: α = 90° - βДано α: β = 90° - α Какую функцию использовать, зависит от того, какие две стороны вам известны. Три основных соотношения называются относительно искомого угла, в этом и состоит смысл SOHCAHTOA: синус равен отношению противолежащего катета к гипотенузе, косинус равен отношению прилежащего катета к гипотенузе, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему.
Рисунок 3: Названия сторон относительно угла
Как найти угол через синус
Чтобы найти угол по противолежащей стороне и гипотенузе, разделите противолежащую сторону на гипотенузу и возьмите арксинус (arcsin).
sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c) Пример решения
Сторона a, равная 5, и гипотенуза c, равная 13, дают угол α, равный 22.62°.
sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Как найти угол через косинус
Чтобы найти угол по прилежащей стороне и гипотенузе, разделите прилежащую сторону на гипотенузу и возьмите арккосинус (arccos).
cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c) Пример решения
Сторона b, равная 12, и гипотенуза c, равная 13, дают тот же угол α, равный 22.62°.
cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62° Как найти угол через тангенс
Чтобы найти угол по двум катетам, разделите противолежащий катет на прилежащий и возьмите арктангенс (arctan). Тангенс нужен тогда, когда гипотенуза неизвестна, потому что он использует две стороны, отличные от гипотенузы.
tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b) Пример решения
Катеты 5 и 12 дают угол α, равный 22.62°, и угол β, равный 67.38°.
tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38° Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс дают один и тот же угол для одного и того же треугольника. Выберите ту функцию, для которой обе стороны вам уже известны, и калькулятор сверит значение с остальными соотношениями. Подробное правило выбора описано в статье SOHCAHTOA простыми словами, а сам метод нахождения угла описан в статье нахождение угла с помощью обратных тригонометрических функций.
| Треугольник | Катет a | Катет b | Гипотенуза | Угол A | Угол B | Площадь | Относительная площадь |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Любое кратное пифагоровой тройки само является тройкой — умножьте 3-4-5 на десять, и 30-40-50 останется идеальным прямоугольным треугольником.
Тригонометрические значения для стандартных углов
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов, которые встречаются чаще всего.
| Угол | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Полные решения
Как решить прямоугольный треугольник
Чтобы решить прямоугольный треугольник, найдите все 6 величин (3 стороны и 3 угла) по 2 известным значениям. Угол C уже известен и равен 90°, поэтому остаются 5 неизвестных и 2 подсказки.
Решение прямоугольного треугольника по двум сторонам
Чтобы решить прямоугольный треугольник по двум сторонам, выполните три шага по порядку.
- Найдите третью сторону по теореме Пифагора.
- Найдите угол A с помощью обратной тригонометрической функции от двух известных сторон.
- Найдите угол B как 90° минус угол A.
Пример решения
Гипотенуза 13 in (33.02 cm) и катет a длиной 5 in (12.7 cm) позволяют полностью решить треугольник:
b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Стороны треугольника равны 5, 12, 13, а углы равны 22.62°, 67.38° и 90°.
Решение прямоугольного треугольника по одной стороне и одному углу
Чтобы решить прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу, сначала найдите второй угол, а затем используйте тригонометрическое соотношение для каждой недостающей стороны.
- Вычтите известный острый угол из 90°, чтобы получить другой острый угол.
- Умножьте или разделите известную сторону на синус, косинус или тангенс, чтобы найти каждую недостающую сторону.
- Проверьте результат по теореме Пифагора.
Пример решения
Гипотенуза 10 m (32.81 ft) и угол α, равный 30°, позволяют полностью решить треугольник:
β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mпроверка: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10² Можно ли решить прямоугольный треугольник только по одной стороне?
Нет, одной стороны недостаточно, чтобы решить прямоугольный треугольник. Одна длина задаёт масштаб треугольника, но оставляет форму неопределённой, поэтому эту сторону имеет бесконечно много прямоугольных треугольников. Добавьте к стороне один из непрямых углов, и треугольник можно решить 6 способами:
- Умножьте гипотенузу на sin(θ), чтобы получить длину стороны, противолежащей углу.
- Умножьте гипотенузу на cos(θ), чтобы получить сторону, прилежащую к углу.
- Разделите прилежащий катет на cos(θ), чтобы получить гипотенузу.
- Умножьте прилежащую сторону на tan(θ), чтобы получить сторону, противолежащую углу.
- Разделите противолежащую сторону на sin(θ), чтобы получить гипотенузу.
- Разделите противолежащую сторону на tan(θ), чтобы получить сторону, прилежащую к углу.
Одна сторона и площадь тоже работают как пара. Введите их в калькулятор, и второй катет получится из площадь = a × b / 2, а гипотенуза следует из теоремы Пифагора.
Производные величины
Величины прямоугольного треугольника
Решённый прямоугольный треугольник даёт 5 производных величин помимо сторон и углов: площадь, периметр, высоту, радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности. Калькулятор выводит все 5 вместе с длинами сторон.
Площадь прямоугольного треугольника
Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, перемножьте два катета и разделите на 2. Катеты перпендикулярны, поэтому один служит основанием, а другой высотой.
area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2 Треугольник с катетами 6 cm (2.36 in) и 8 cm (3.15 in) имеет площадь 24 cm² (3.72 in²). Вторая форма использует гипотенузу как основание и высоту как высоту и даёт тот же результат.
Периметр прямоугольного треугольника
Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, сложите длины трёх сторон.
P = a + b + cТреугольник 3-4-5, измеренный в футах, имеет периметр 12 ft (3.66 m). Если известны только два катета, сначала вычислите гипотенузу, так как для периметра нужны все три стороны.
Высота прямоугольного треугольника
Высота прямоугольного треугольника равна перпендикулярному расстоянию от вершины прямого угла до гипотенузы. Перемножьте катеты и разделите на гипотенузу.
h = (a × b) / cВысота делит гипотенузу на два отрезка, p и q, и образует два меньших треугольника, подобных исходному. Из этого подобия следуют три соотношения среднего геометрического, подробно изложенные в статье о теореме о высоте прямоугольного треугольника.
h² = p × qa² = p × cb² = q × c Рисунок 4: Высота и два её отрезка
Радиусы вписанной и описанной окружностей
Радиус вписанной окружности r равен радиусу наибольшей окружности, помещающейся внутри треугольника, а радиус описанной окружности R равен радиусу окружности, проходящей через все три вершины.
r = (a + b - c) / 2R = c / 2 Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника всегда равен половине гипотенузы, потому что гипотенуза является диаметром описанной окружности. У треугольника 3-4-5 радиус вписанной окружности равен 1, а радиус описанной окружности равен 2.5.
- Площадь
- 6
- Периметр
- 12
- Высота
- 2.4
- Радиус вписанной окружности
- 1
- Радиус описанной окружности
- 2.5
Пять производных величин прямоугольного треугольника 3-4-5.
Справочник
Особые прямоугольные треугольники
Существует 4 прямоугольных треугольника, которые стоит запомнить: треугольник 30-60-90, треугольник 45-45-90, треугольник 3-4-5 и треугольник 5-12-13. У первых двух фиксированы углы и отношения сторон, а последние два являются пифагоровыми тройками с целыми сторонами. В руководстве по особым прямоугольным треугольникам первые два сравниваются бок о бок.
Треугольник 30-60-90
Стороны треугольника 30-60-90 относятся как 1 : √3 : 2. Самая короткая сторона лежит напротив угла 30°, средняя сторона лежит напротив угла 60°, а гипотенуза лежит напротив прямого угла и ровно вдвое длиннее самой короткой стороны.
Рисунок 5: Треугольник 30-60-90
Одна известная сторона треугольника 30-60-90 определяет две другие. Короткий катет 5 cm (1.97 in) даёт длинный катет 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) и гипотенузу 10 cm (3.94 in). Этот треугольник используют для вычисления тригонометрических функций кратных π/6, и именно отсюда берутся точные значения sin(30°) = 1/2 и cos(30°) = √3/2.
Треугольник 45-45-90
Стороны треугольника 45-45-90 относятся как 1 : 1 : √2. Оба катета равны по длине, поэтому это равнобедренный прямоугольный треугольник с 1 осью симметрии.
Рисунок 6: Треугольник 45-45-90
В треугольнике 45-45-90 катет 5 in (12.7 cm) даёт гипотенузу 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). Гипотенуза 5 работает в обратную сторону: разделите на √2 и получите катеты по 3.54. Треугольник 45-45-90 даёт значения тригонометрических функций кратных π/4, где sin(45°) и cos(45°) оба равны √2/2.
Прямоугольный треугольник 3-4-5
Треугольник 3-4-5 является наименьшей пифагоровой тройкой с острыми углами 36.87° и 53.13°. Целые стороны делают его стандартной проверкой прямого угла на стройке, и этот метод описан в статье правило треугольника 3-4-5.
Рисунок 7: Треугольник 3-4-5 на единичной сетке
Прямоугольный треугольник 5-12-13
Треугольник 5-12-13 является второй по величине пифагоровой тройкой с острыми углами 22.62° и 67.38°. Его стороны удовлетворяют равенству 25 + 144 = 169, а узкая форма подходит для разметки там, где треугольник 3-4-5 слишком широк для доступного места.
Рисунок 8: Треугольник 5-12-13
Масштабирование тройки сохраняет прямой угол. Умножьте 3-4-5 на 10 и получите 30-40-50, или умножьте 5-12-13 на 2 и получите 10-24-26, и оба останутся прямоугольными треугольниками с теми же острыми углами. Более полный справочный список приведён в статье о пифагоровых тройках.
| Треугольник | Катет a | Катет b | Гипотенуза | Угол A | Угол B | Площадь | Относительная площадь |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Любое кратное пифагоровой тройки само является тройкой — умножьте 3-4-5 на десять, и 30-40-50 останется идеальным прямоугольным треугольником.
Тригонометрические значения для стандартных углов
Значения синуса, косинуса и тангенса для углов, которые встречаются чаще всего.
| Угол | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Применение
Применение прямоугольных треугольников в жизни
Геометрия прямоугольного треугольника нужна везде, где высоту, расстояние или угол приходится вычислять без прямого измерения. Существует 4 области, которые опираются на неё ежедневно: строительство, инженерия, навигация и ремонт дома. Разобранные случаи собраны в статье текстовые задачи на прямоугольный треугольник.
Рисунок 9: Три прямоугольных треугольника из повседневной жизни
Строительство и архитектура
Строители используют прямоугольные треугольники, чтобы выводить прямые углы, задавать уклон крыши и размечать косоуры лестниц. Метод 3-4-5 позволяет выставить прямой угол каркаса без угольника: отмерьте 3 ft (0.91 m) вдоль одной кромки, 4 ft (1.22 m) вдоль другой и подгоняйте, пока диагональ не станет ровно 5 ft (1.52 m).
Уклон крыши равен отношению подъёма к заложению, а длина стропила является гипотенузой этого треугольника. Подъём 6 in на 12 in заложения (152 mm на 305 mm) даёт стропило √(6² + 12²) = 13.42 in на фут заложения и угол уклона arctan(6 / 12) = 26.57°.
Инженерия и физика
Инженеры раскладывают силы и скорости на перпендикулярные составляющие с помощью прямоугольных треугольников. Сила 200 N, приложенная под углом 35° к горизонту, раскладывается на горизонтальную составляющую 200 × cos(35°) = 163.8 N и вертикальную составляющую 200 × sin(35°) = 114.7 N.
Расчёты уклонов следуют той же схеме. Пандус для инвалидных колясок с уклоном 1:12 поднимается на 1 in на каждые 12 in заложения (25.4 mm на 305 mm), что соответствует углу arctan(1 / 12) = 4.76°.
Навигация и геодезия
Геодезисты измеряют угол подъёма или угол понижения и переводят его в высоту или расстояние. Если стоять в 50 m (164 ft) от башни при угле подъёма 32°, вершина башни окажется на 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) выше уровня глаз.
Обработка теодолитного хода раскладывает каждое звено съёмки на составляющие север-юг и восток-запад с помощью синуса и косинуса, а затем суммирует их. Пилоты и моряки используют точно такой же метод, чтобы перевести курс и расстояние в изменение широты и долготы.
Своими руками и ремонт дома
В домашних проектах прямоугольные треугольники нужны, когда важна диагональ. Диагональ прямоугольника является гипотенузой двух прямоугольных треугольников, поэтому проём 40 in на 30 in (101.6 cm на 76.2 cm) имеет диагональ √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).
Сравнение этой диагонали со второй диагональю является самым быстрым способом убедиться, что рама, настил или плиточный пол выставлены под прямым углом. Равные диагонали означают прямые углы. Прямоугольные треугольники также помогают подобрать настенное крепление для телевизора, распорку для грядки и угол реза при запиливании наличника на ус.
Вопросы