मूल बातें

समकोण त्रिभुज क्या है?

समकोण त्रिभुज वह त्रिभुज है जिसका एक आंतरिक कोण ठीक 90° होता है। 90° का कोण समकोण है, और उसके सामने की भुजा कर्ण है, जो तीनों भुजाओं में सबसे लंबी होती है।

समकोण त्रिभुज में 3 भुजाएँ और 3 कोण होते हैं, जिनके नाम उस परिपाटी से रखे जाते हैं जिसे यह कैलकुलेटर और अधिकांश पाठ्यपुस्तकें अपनाती हैं:

  • भुजा a और भुजा b लंब भुजाएँ हैं, यानी कर्ण के अलावा वे दो भुजाएँ जो समकोण पर मिलती हैं।
  • भुजा c कर्ण है, यानी कोण C के सामने की भुजा।
  • कोण A भुजा a के सामने है, कोण B भुजा b के सामने है, और कोण C का माप 90° है।

कई स्रोत दोनों न्यून कोणों को α (alpha) और β (beta) लिखते हैं, और जिस कोण पर चर्चा हो रही हो उसके लिए θ (theta) का उपयोग करते हैं। कोण A और α एक ही माप के नाम हैं, इसलिए α से लिखा गया सूत्र कोण A के साथ बिना बदले काम करता है।

चित्र 1: समकोण त्रिभुज की संरचना

a b c h α β B A C
भुजाएँ a और b समकोण C पर मिलती हैं। कर्ण c उस समकोण के सामने होता है। शीर्षलंब h, C से c पर लंबवत गिरता है।

हर समकोण त्रिभुज में दो नियम लागू होते हैं:

  • दोनों न्यून कोण पूरक होते हैं, इसलिए कोण A + कोण B = 90°। तीनों कोणों का योग 180° होता है और कोण C उस योग में से 90° पहले ही ले लेता है।
  • तीनों भुजाएँ पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट करती हैं, a² + b² = c²। यह संबंध उलटा भी लागू होता है: जिस त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा का वर्ग बाकी दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, वह समकोण त्रिभुज होता है।

समकोण त्रिभुज विषमबाहु होता है जब तीनों भुजाओं की लंबाई अलग हो, और समद्विबाहु होता है जब दोनों लंब भुजाएँ बराबर हों, जिससे दोनों न्यून कोण 45° हो जाते हैं। कोई भी समकोण त्रिभुज समबाहु नहीं होता, क्योंकि बराबर भुजाओं के लिए तीन 60° कोण चाहिए।

जिस समकोण त्रिभुज की तीनों भुजाएँ पूर्णांक हों, वह पाइथागोरसीय त्रिभुज है, और तीनों लंबाइयाँ एक पाइथागोरसीय त्रिक बनाती हैं, जैसे 3, 4, 5 या 5, 12, 13।

शीर्षलंब h समकोण वाले शीर्ष से कर्ण पर लंबवत जाता है। शीर्षलंब मूल त्रिभुज को 2 छोटे त्रिभुजों में काटता है, जो एक-दूसरे के और उस त्रिभुज के समरूप होते हैं जिससे वे बने हैं।

समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति की नींव हैं। साइन, कोसाइन, टैन्जेंट और कोटैन्जेंट समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयों के अनुपात के रूप में परिभाषित होते हैं, इसीलिए समकोण त्रिभुज की भुजा और कोण का कैलकुलेटर त्रिकोणमितीय फलनों का मान निकालने का साधन भी है।

टूल का उपयोग

समकोण त्रिभुज कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

  1. एक टैब चुनें। त्रिभुज हल करें हर इनपुट संयोजन संभालता है, पाइथागोरस प्रमेय फ़ील्ड को तीन भुजाओं तक सीमित करता है, और विशेष त्रिभुज एक माप से 30-60-90 या 45-45-90 त्रिभुज का पैमाना तय करता है।
  2. पहला ज्ञात मान उसके फ़ील्ड में टाइप करें: भुजा a, भुजा b, भुजा c, कोण A, कोण B या क्षेत्रफल।
  3. दूसरा ज्ञात मान टाइप करें। आरेख पैमाने के अनुसार फिर से बनता है और बाकी हर फ़ील्ड तुरंत भर जाता है।
  4. परिणाम पढ़ें: लुप्त भुजाओं की लंबाइयाँ, दोनों न्यून कोण, क्षेत्रफल, परिमाप, शीर्षलंब, अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या।
  5. त्रिभुज का आकार बदलने के लिए आरेख पर किसी भी बैंगनी हैंडल को खींचें, या एक-चरणीय बदलाव के लिए तीर कुंजियाँ दबाएँ। दशमलव नियंत्रण को 0, 2, 4 या 6 स्थानों पर सेट करें।

कैलकुलेटर 6 इनपुट संयोजन स्वीकार करता है:

  • दो लंब भुजाएँ: भुजा a और भुजा b
  • एक लंब भुजा और कर्ण: भुजा a और भुजा c, या भुजा b और भुजा c
  • एक लंब भुजा और एक न्यून कोण: भुजा a और कोण A, या भुजा b और कोण B
  • कर्ण और एक न्यून कोण: भुजा c और कोण A, या भुजा c और कोण B
  • एक लंब भुजा और क्षेत्रफल
  • कर्ण और क्षेत्रफल

दो कोण ही वह एकमात्र जोड़ी है जिसे कैलकुलेटर अस्वीकार करता है। कोण A और कोण B त्रिभुज का आकार तय करते हैं पर उसके माप के बारे में कुछ नहीं बताते, इसलिए अनगिनत त्रिभुज उन्हें संतुष्ट करते हैं।

इकाइयाँ आप स्वयं चुनें। कैलकुलेटर किसी इकाई से बंधा नहीं है: 5 दर्ज करें और 5 ही वापस पढ़ें, इंच, सेंटीमीटर, फ़ुट या मीटर में, बशर्ते हर लंबाई एक ही इकाई में हो। 13 ft (3.96 m) का कर्ण और 5 ft (1.52 m) की लंब भुजा 12 ft (3.66 m) की दूसरी लंब भुजा देते हैं। कोण अंशों में होते हैं। रेडियन में बदलने के लिए π/180 से गुणा करें: 45° है π/4 rad, 60° है π/3 rad, और 90° है π/2 rad।

भुजाओं की लंबाई

समकोण त्रिभुज की लुप्त भुजा कैसे ज्ञात करें

समकोण त्रिभुज की लुप्त भुजा ज्ञात करने के लिए, दो भुजाएँ ज्ञात हों तो पाइथागोरस प्रमेय लगाएँ, या एक भुजा और एक न्यून कोण ज्ञात हों तो त्रिकोणमितीय अनुपात लगाएँ। शुरुआत के 3 बिंदु हैं, और हर एक का अपना सूत्र है।

दो भुजाओं से कर्ण ज्ञात करें

दोनों लंब भुजाओं से कर्ण ज्ञात करने के लिए, लंब भुजाओं के वर्ग जोड़ें और वर्गमूल लें।

c = √(a² + b²)

यह सूत्र c के लिए पुनर्व्यवस्थित पाइथागोरस प्रमेय है। किसी लंब भुजा का वर्ग करने से उस भुजा पर बने वर्ग का क्षेत्रफल मिलता है, और दोनों छोटे वर्ग मिलकर कर्ण पर बने वर्ग के बराबर होते हैं।

चित्र 2: क्षेत्रफल के रूप में पाइथागोरस प्रमेय

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5
3-4-5 त्रिभुज की हर भुजा पर एक वर्ग बनाया गया है। दोनों छोटे वर्गों में 9 और 16 वर्ग इकाइयाँ हैं, जो मिलकर सबसे बड़े वर्ग की 25 वर्ग इकाइयों के बराबर होती हैं।

हल किया गया उदाहरण

3 in (7.62 cm) की लंब भुजा और 4 in (10.16 cm) की लंब भुजा 5 in (12.7 cm) का कर्ण देती हैं।

c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in

कर्ण और एक भुजा से लंब भुजा ज्ञात करें

कर्ण और दूसरी लंब भुजा से एक लंब भुजा ज्ञात करने के लिए, कर्ण के वर्ग में से ज्ञात लंब भुजा का वर्ग घटाएँ और वर्गमूल लें।

a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)

हल किया गया उदाहरण

13 cm (5.12 in) का कर्ण और 5 cm (1.97 in) की लंब भुजा 12 cm (4.72 in) की दूसरी लंब भुजा देते हैं।

b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm

कर्ण का किसी भी लंब भुजा से लंबा होना ज़रूरी है। किसी ज्ञात लंब भुजा से छोटा या उसके बराबर c का मान वर्गमूल के अंदर ऋणात्मक संख्या बनाता है, और कैलकुलेटर कोई मान लौटाने के बजाय इस विरोध की सूचना देता है।

कोण से भुजा ज्ञात करें

किसी कोण और एक ज्ञात भुजा से भुजा ज्ञात करने के लिए, वह त्रिकोणमितीय अनुपात चुनें जो दोनों को जोड़ता है। 6 सूत्र हैं, और सही सूत्र इस पर निर्भर करता है कि आपके पास कौन-सी भुजा है।

a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α)

हल किया गया उदाहरण

α = 30° के साथ 10 m (32.81 ft) का कर्ण सीधे दोनों लंब भुजाएँ देता है।

a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m

साइन नियम भी यही उत्तर देता है। किसी भी त्रिभुज में a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), और समकोण त्रिभुज में sin(C) = sin(90°) = 1 होता है, जिससे साइन नियम सिमटकर c = a / sin(A) बन जाता है। समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति एक छोटा रास्ता है, कोई अलग पद्धति नहीं।

यदि कोण के बजाय क्षेत्रफल और एक लंब भुजा ज्ञात हों, तो क्षेत्रफल के दोगुने को ज्ञात लंब भुजा से भाग दें। समकोण त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है जिसकी एक लंब भुजा आधार और दूसरी ऊँचाई का काम करती है, इसलिए त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र सरल होकर क्षेत्रफल = a × b / 2 बन जाता है, और b = 2 × क्षेत्रफल / a।

कोण

समकोण त्रिभुज के कोण कैसे ज्ञात करें

समकोण त्रिभुज के कोण ज्ञात करने के लिए, दो ज्ञात भुजाओं के अनुपात पर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन लगाएँ। कोण C 90° पर स्थिर है, इसलिए एक गणना से त्रिभुज तय हो जाता है: दूसरा न्यून कोण पहले का पूरक है।

दिया है β: α = 90° - βदिया है α: β = 90° - α

कौन-सा फलन लेना है, यह इस पर निर्भर करता है कि कौन-सी दो भुजाएँ ज्ञात हैं। तीनों मूल अनुपातों के नाम उस कोण के सापेक्ष रखे जाते हैं जिसे आप ज्ञात कर रहे हैं, और SOHCAHTOA का अर्थ यही है: साइन है सम्मुख बटा कर्ण, कोसाइन है संलग्न बटा कर्ण, टैन्जेंट है सम्मुख बटा संलग्न।

चित्र 3: किसी कोण के सापेक्ष भुजाओं के नाम

सम्मुख (a) संलग्न (b) कर्ण (c) θ
जिस कोण का अध्ययन हो रहा है, उसके साथ एक ही भुजा का नाम बदल जाता है। θ से मापने पर भुजा a सम्मुख है, भुजा b संलग्न है, और भुजा c कर्ण ही रहती है।

साइन से कोण ज्ञात करें

सम्मुख भुजा और कर्ण से कोण ज्ञात करने के लिए, सम्मुख भुजा को कर्ण से भाग दें और प्रतिलोम साइन (arcsin) लें।

sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c)

हल किया गया उदाहरण

5 की भुजा a और 13 का कर्ण c, 22.62° का कोण α देते हैं।

sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

कोसाइन से कोण ज्ञात करें

संलग्न भुजा और कर्ण से कोण ज्ञात करने के लिए, संलग्न भुजा को कर्ण से भाग दें और प्रतिलोम कोसाइन (arccos) लें।

cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c)

हल किया गया उदाहरण

12 की भुजा b और 13 का कर्ण c, वही 22.62° का कोण α देते हैं।

cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62°

टैन्जेंट से कोण ज्ञात करें

दोनों लंब भुजाओं से कोण ज्ञात करने के लिए, सम्मुख लंब भुजा को संलग्न लंब भुजा से भाग दें और प्रतिलोम टैन्जेंट (arctan) लें। जब कर्ण अज्ञात हो तब टैन्जेंट ही काम का अनुपात है, क्योंकि यह कर्ण के अलावा वाली दोनों भुजाओं का उपयोग करता है।

tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b)

हल किया गया उदाहरण

5 और 12 की लंब भुजाएँ 22.62° का कोण α और 67.38° का कोण β देती हैं।

tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38°

प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम कोसाइन, प्रतिलोम टैन्जेंट और प्रतिलोम कोटैन्जेंट, सभी एक ही त्रिभुज के लिए एक ही कोण लौटाते हैं। वह फलन चुनें जिसकी दोनों भुजाएँ आपके पास पहले से हैं, और कैलकुलेटर बाकी अनुपातों से मान की पुष्टि कर देगा। चुनने के नियम को विस्तार से समझने के लिए SOHCAHTOA की व्याख्या देखें, और कोण ज्ञात करने की विधि के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमिति से कोण ज्ञात करना देखें।

मानक कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात

उन कोणों के साइन, कोसाइन और टैन्जेंट मान जिनसे आपका सामना सबसे अधिक होने की संभावना है।

उन कोणों के साइन, कोसाइन और टैन्जेंट मान जिनसे आपका सामना सबसे अधिक होने की संभावना है।
कोण sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

पूरे हल

समकोण त्रिभुज कैसे हल करें

समकोण त्रिभुज हल करने के लिए, 2 ज्ञात मानों से सभी 6 माप (3 भुजाएँ और 3 कोण) निकालें। कोण C पहले से 90° ज्ञात है, जिससे 5 अज्ञात और 2 संकेत बचते हैं।

दो भुजाओं से समकोण त्रिभुज हल करना

दो भुजाओं से समकोण त्रिभुज हल करने के लिए, क्रम से तीन चरण करें।

  1. पाइथागोरस प्रमेय से तीसरी भुजा ज्ञात करें।
  2. दो ज्ञात भुजाओं के प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन से कोण A ज्ञात करें।
  3. कोण B को 90° में से कोण A घटाकर ज्ञात करें।

हल किया गया उदाहरण

13 in (33.02 cm) का कर्ण और 5 in (12.7 cm) की लंब भुजा a से पूरा हल:

b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

त्रिभुज 5, 12, 13 है और इसके कोण 22.62°, 67.38° और 90° हैं।

एक भुजा और एक कोण से समकोण त्रिभुज हल करना

एक भुजा और एक न्यून कोण से समकोण त्रिभुज हल करने के लिए, पहले दूसरा कोण ज्ञात करें, फिर हर लुप्त भुजा के लिए त्रिकोणमितीय अनुपात का उपयोग करें।

  1. दूसरा न्यून कोण पाने के लिए 90° में से ज्ञात न्यून कोण घटाएँ।
  2. हर लुप्त भुजा तक पहुँचने के लिए ज्ञात भुजा को साइन, कोसाइन या टैन्जेंट से गुणा या भाग करें।
  3. परिणाम की जाँच पाइथागोरस प्रमेय से करें।

हल किया गया उदाहरण

10 m (32.81 ft) का कर्ण और 30° का कोण α से पूरा हल:

β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mजाँच: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10²

क्या केवल एक भुजा से समकोण त्रिभुज हल हो सकता है?

नहीं, केवल एक भुजा से समकोण त्रिभुज हल नहीं हो सकता। एक अकेली लंबाई त्रिभुज का पैमाना तय करती है पर आकार खुला छोड़ देती है, इसलिए अनगिनत समकोण त्रिभुजों में वह भुजा समान हो सकती है। भुजा को समकोण के अलावा किसी एक कोण के साथ जोड़ें, तो त्रिभुज 6 तरीकों से हल हो सकता है:

  1. कोण के सम्मुख भुजा की लंबाई पाने के लिए कर्ण को sin(θ) से गुणा करें।
  2. कोण की संलग्न भुजा पाने के लिए कर्ण को cos(θ) से गुणा करें।
  3. कर्ण पाने के लिए कर्ण के अलावा वाली संलग्न भुजा को cos(θ) से भाग दें।
  4. कोण के सम्मुख भुजा पाने के लिए संलग्न भुजा को tan(θ) से गुणा करें।
  5. कर्ण पाने के लिए सम्मुख भुजा को sin(θ) से भाग दें।
  6. कोण की संलग्न भुजा पाने के लिए सम्मुख भुजा को tan(θ) से भाग दें।

एक भुजा और क्षेत्रफल भी जोड़ी के रूप में काम करते हैं। दोनों कैलकुलेटर में डालें और दूसरी लंब भुजा क्षेत्रफल = a × b / 2 से निकल आती है, और कर्ण पाइथागोरस प्रमेय से।

व्युत्पन्न मान

समकोण त्रिभुज के माप

हल किया गया समकोण त्रिभुज अपनी भुजाओं और कोणों के अलावा 5 व्युत्पन्न माप देता है: क्षेत्रफल, परिमाप, शीर्षलंब, अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या। कैलकुलेटर भुजाओं की लंबाइयों के साथ सभी 5 बताता है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, दोनों लंब भुजाओं को गुणा करें और 2 से भाग दें। लंब भुजाएँ परस्पर लंब होती हैं, इसलिए एक आधार और दूसरी ऊँचाई का काम करती है।

area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2

6 cm (2.36 in) और 8 cm (3.15 in) की लंब भुजाओं वाला त्रिभुज 24 cm² (3.72 in²) घेरता है। दूसरा रूप कर्ण को आधार और शीर्षलंब को ऊँचाई मानता है, और ठीक वही मान लौटाता है।

समकोण त्रिभुज का परिमाप

समकोण त्रिभुज का परिमाप ज्ञात करने के लिए, तीनों भुजाओं की लंबाइयाँ जोड़ें।

P = a + b + c

फ़ुट में मापे गए 3-4-5 त्रिभुज का परिमाप 12 ft (3.66 m) है। यदि केवल दोनों लंब भुजाएँ ज्ञात हों, तो पहले कर्ण की गणना करें, क्योंकि परिमाप के लिए तीनों भुजाएँ चाहिए।

समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब

समकोण त्रिभुज का शीर्षलंब समकोण वाले शीर्ष से कर्ण तक की लंबवत दूरी है। लंब भुजाओं को गुणा करें और कर्ण से भाग दें।

h = (a × b) / c

शीर्षलंब कर्ण को दो खंडों, p और q, में बाँटता है और मूल त्रिभुज के समरूप दो छोटे त्रिभुज बनाता है। इस समरूपता से तीन ज्यामितीय माध्य संबंध निकलते हैं, जिन्हें समकोण त्रिभुज शीर्षलंब प्रमेय की गाइड में पूरा समझाया गया है।

h² = p × qa² = p × cb² = q × c

चित्र 4: शीर्षलंब और उसके दो खंड

a b h q p
शीर्षलंब h कर्ण से समकोण पर मिलता है और उसे खंड p और q में बाँटता है। हर छोटा त्रिभुज मूल त्रिभुज के समरूप होता है।

अंतःत्रिज्या और परित्रिज्या

अंतःत्रिज्या r त्रिभुज के अंदर आने वाले सबसे बड़े वृत्त की त्रिज्या है, और परित्रिज्या R तीनों शीर्षों से होकर जाने वाले वृत्त की त्रिज्या है।

r = (a + b - c) / 2R = c / 2

समकोण त्रिभुज की परित्रिज्या हमेशा कर्ण की आधी होती है, क्योंकि कर्ण परिवृत्त का व्यास है। 3-4-5 त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 1 और परित्रिज्या 2.5 है।

क्षेत्रफल
6
परिमाप
12
शीर्षलंब
2.4
अंतःत्रिज्या
1
परित्रिज्या
2.5

3-4-5 समकोण त्रिभुज के पाँच व्युत्पन्न माप।

संदर्भ

विशेष समकोण त्रिभुज

4 समकोण त्रिभुज याद रखने योग्य हैं: 30-60-90 त्रिभुज, 45-45-90 त्रिभुज, 3-4-5 त्रिभुज और 5-12-13 त्रिभुज। पहले दो के कोण और भुजाओं के अनुपात निश्चित हैं, और अंतिम दो पूर्ण संख्या वाली भुजाओं के पाइथागोरसीय त्रिक हैं। विशेष समकोण त्रिभुज गाइड पहले दो की आमने-सामने तुलना करती है।

30-60-90 त्रिभुज

30-60-90 त्रिभुज की भुजाएँ 1 : √3 : 2 के अनुपात में होती हैं। सबसे छोटी भुजा 30° कोण के सामने है, बीच की भुजा 60° कोण के सामने है, और कर्ण समकोण के सामने है, जो सबसे छोटी भुजा का ठीक दोगुना होता है।

चित्र 5: 30-60-90 त्रिभुज

1 √3 2 30° 60°
एक समबाहु त्रिभुज का आधा भाग। एक माप से तीनों भुजाओं का पैमाना तय हो जाता है, क्योंकि अनुपात 1 : √3 : 2 कभी नहीं बदलता।

30-60-90 त्रिभुज की एक भुजा ज्ञात हो तो बाकी दो तय हो जाती हैं। 5 cm (1.97 in) की छोटी लंब भुजा 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) की लंबी लंब भुजा और 10 cm (3.94 in) का कर्ण देती है। इस त्रिभुज से π/6 के गुणजों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों का मान निकाला जाता है, और सटीक मान sin(30°) = 1/2 और cos(30°) = √3/2 यहीं से आते हैं।

45-45-90 त्रिभुज

45-45-90 त्रिभुज की भुजाएँ 1 : 1 : √2 के अनुपात में होती हैं। दोनों लंब भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं, जिससे यह समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनता है और इसमें सममिति की 1 रेखा होती है।

चित्र 6: 45-45-90 त्रिभुज

1 1 √2 45° 45°
समद्विबाहु समकोण त्रिभुज। बराबर भुजाओं के कारण दोनों न्यून कोण 45° होते हैं, और कर्ण a√2 होता है।

45-45-90 त्रिभुज में 5 in (12.7 cm) की लंब भुजा 5√2 = 7.07 in (17.96 cm) का कर्ण देती है। 5 का कर्ण उलटी दिशा में काम करता है: √2 से भाग देने पर हर लंब भुजा 3.54 मिलती है। 45-45-90 त्रिभुज π/4 के गुणजों के लिए त्रिकोणमितीय फलनों का मान देता है, जहाँ sin(45°) और cos(45°) दोनों √2/2 के बराबर हैं।

3-4-5 समकोण त्रिभुज

3-4-5 त्रिभुज सबसे छोटा पाइथागोरसीय त्रिक है, जिसके न्यून कोण 36.87° और 53.13° हैं। पूर्ण संख्या वाली भुजाओं के कारण यह निर्माण स्थल पर समकोण कोने की जाँच का मानक तरीका है, जिसे 3-4-5 त्रिभुज नियम में समझाया गया है।

चित्र 7: इकाई ग्रिड पर 3-4-5 त्रिभुज

3 4 5 36.87° 53.13°
तीन इकाई ऊपर, चार इकाई आड़े, और कर्ण के साथ पाँच इकाई। 3-4-5 का हर गुणज, जैसे 6-8-10 या 30-40-50, भी समकोण त्रिभुज होता है।

5-12-13 समकोण त्रिभुज

5-12-13 त्रिभुज दूसरा सबसे छोटा पाइथागोरसीय त्रिक है, जिसके न्यून कोण 22.62° और 67.38° हैं। इसकी भुजाएँ 25 + 144 = 169 को संतुष्ट करती हैं, और इसका संकरा आकार उस लेआउट कार्य के लिए उपयुक्त है जहाँ 3-4-5 त्रिभुज जगह के हिसाब से बहुत चौड़ा हो।

चित्र 8: 5-12-13 त्रिभुज

5 12 13 22.62° 67.38°
एक लंबा, संकरा पाइथागोरसीय त्रिक, जिसके कर्ण के दूर वाले सिरे पर 22.62° का कोण है।

त्रिक का पैमाना बढ़ाने पर समकोण बना रहता है। 30-40-50 के लिए 3-4-5 को 10 से गुणा करें, या 10-24-26 के लिए 5-12-13 को 2 से, और दोनों समान न्यून कोणों वाले समकोण त्रिभुज ही रहते हैं। अधिक पूरी संदर्भ सूची पाइथागोरसीय त्रिक की गाइड में है।

सामान्य समकोण त्रिभुजों की तालिका, उनकी भुजाओं, न्यून कोणों और क्षेत्रफलों सहित।
त्रिभुज भुजा a भुजा b कर्ण कोण A कोण B क्षेत्रफल सापेक्ष क्षेत्रफल
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

किसी भी पाइथागोरसीय त्रिक का कोई भी गुणज स्वयं एक त्रिक होता है - 3-4-5 को दस से गुणा करें और 30-40-50 अब भी एक पूर्ण समकोण त्रिभुज है।

अनुप्रयोग

समकोण त्रिभुजों के वास्तविक उपयोग

समकोण त्रिभुज ज्यामिति वहाँ दिखती है जहाँ किसी ऊँचाई, दूरी या कोण को सीधे मापे बिना निकालना हो। 4 क्षेत्र हर दिन इस पर निर्भर करते हैं: निर्माण, इंजीनियरिंग, नेविगेशन और घर की मरम्मत। हल किए गए उदाहरण समकोण त्रिभुज शब्द समस्याएँ में संकलित हैं।

चित्र 9: रोज़मर्रा के तीन समकोण त्रिभुज

चढ़ाव फैलाव छत का ढलान ऊँचाई आधार सीढ़ी सीढ़ी का कोण चढ़ाव फैलाव रैंप रैंप का ढलान
छत का ढलान, सीढ़ी की स्थिति और रैंप का ढलान, तीनों दो ज्ञात मानों वाले एक समकोण त्रिभुज में बदल जाते हैं।

निर्माण और वास्तुकला

निर्माता कोनों को समकोण बनाने, छत का ढलान तय करने और सीढ़ी के स्ट्रिंगर काटने के लिए समकोण त्रिभुजों का उपयोग करते हैं। 3-4-5 विधि बिना गुनिया के ढाँचे को समकोण बनाती है: एक किनारे पर 3 ft (0.91 m) मापें, दूसरे पर 4 ft (1.22 m), और तब तक समायोजित करें जब तक विकर्ण ठीक 5 ft (1.52 m) न हो जाए।

छत का ढलान छत के फैलाव पर चढ़ाव है, और कड़ी (रैफ़्टर) की लंबाई उस त्रिभुज का कर्ण है। 12 in फैलाव पर 6 in का चढ़ाव (305 mm पर 152 mm) प्रति फ़ुट फैलाव √(6² + 12²) = 13.42 in की कड़ी और arctan(6 / 12) = 26.57° का ढलान कोण देता है।

इंजीनियरिंग और भौतिकी

इंजीनियर समकोण त्रिभुजों की मदद से बलों और वेगों को परस्पर लंब घटकों में बाँटते हैं। क्षैतिज से 35° ऊपर लगाया गया 200 N का बल 200 × cos(35°) = 163.8 N के क्षैतिज घटक और 200 × sin(35°) = 114.7 N के ऊर्ध्वाधर घटक में बँट जाता है।

ढलान की गणनाएँ भी इसी ढर्रे पर चलती हैं। 1:12 प्रवणता पर बना व्हीलचेयर रैंप हर 12 in फैलाव पर 1 in ऊपर उठता है (305 mm पर 25.4 mm), जो arctan(1 / 12) = 4.76° का कोण है।

नेविगेशन और सर्वेक्षण

सर्वेक्षक उन्नयन या अवनमन कोण मापते हैं और उसे ऊँचाई या दूरी में बदलते हैं। किसी मीनार से 50 m (164 ft) दूर खड़े होकर 32° का उन्नयन कोण मिले, तो मीनार आँख के स्तर से 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) ऊँची है।

ट्रैवर्स रिडक्शन हर सर्वे खंड को साइन और कोसाइन से उत्तर-दक्षिण और पूर्व-पश्चिम घटकों में बाँटता है, फिर उन्हें जोड़ता है। पायलट और नाविक दिशा और दूरी को अक्षांश और देशांतर के बदलाव में बदलने के लिए ठीक यही विधि अपनाते हैं।

DIY और घर की मरम्मत

जब विकर्ण मायने रखता है, तब घरेलू परियोजनाओं में समकोण त्रिभुज काम आते हैं। आयत का विकर्ण दो समकोण त्रिभुजों का कर्ण है, इसलिए 40 in गुणा 30 in (101.6 cm गुणा 76.2 cm) के खुले भाग का विकर्ण √(1600 + 900) = 50 in (127 cm) है।

उस विकर्ण को उसके जोड़ीदार विकर्ण से मिलाना यह पक्का करने का सबसे तेज़ तरीका है कि कोई फ़्रेम, डेक या टाइल वाला फ़र्श समकोणीय है। बराबर विकर्णों का अर्थ है समकोण कोने। समकोण त्रिभुज टीवी वॉल माउंट, बगीचे की क्यारी के ब्रेस और मिटर की गई ट्रिम के कटाव कोण का माप तय करने में भी काम आते हैं।

प्रश्न

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा को क्या कहते हैं?

समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा को कर्ण कहते हैं। कर्ण 90° कोण के सम्मुख होता है और उसे भुजा c नाम दिया जाता है। उसकी लंबाई दोनों भुजाओं से c = √(a² + b²) के रूप में निकलती है, जिससे वह हर समकोण त्रिभुज में भुजा a और भुजा b दोनों से लंबा होता है।

समकोण त्रिभुज में सममिति की कितनी रेखाएँ होती हैं?

समकोण त्रिभुज समद्विबाहु हो तो उसमें सममिति की 1 रेखा होती है, और बाकी हर स्थिति में सममिति की 0 रेखाएँ होती हैं। समद्विबाहु स्थिति 45-45-90 त्रिभुज है, जिसमें कर्ण को छोड़कर दोनों भुजाएँ बराबर लंबाई की होती हैं और सममिति रेखा समकोण से कर्ण के मध्यबिंदु तक जाती है। 3-4-5 जैसे विषमबाहु समकोण त्रिभुज में सममिति की कोई रेखा नहीं होती।

समकोण त्रिभुज का कर्ण कैसे निकालें?

कर्ण निकालने के लिए दोनों भुजाओं के वर्गों के योग का वर्गमूल लें: c = √(a² + b²)। 3 और 4 की भुजाओं के लिए, c = √(9 + 16) = √25 = 5। यदि दो भुजाओं के बजाय एक भुजा और एक न्यून कोण ज्ञात हो, तो c = a / sin(α) या c = b / cos(α) का उपयोग करें।

क्या समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हो सकती हैं?

हाँ, समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हो सकती हैं। दोनों भुजाएँ बराबर हो सकती हैं, जिससे 45-45-90 समद्विबाहु समकोण त्रिभुज बनता है, जिसका कर्ण a√2 होता है और जिसके दोनों न्यून कोण 45° के होते हैं। तीनों भुजाएँ बराबर नहीं हो सकतीं, क्योंकि बराबर भुजाओं से तीनों कोण 60° के हो जाएँगे, जबकि समकोण त्रिभुज में एक कोण 90° का होना आवश्यक है।

क्या सभी समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं?

नहीं, सभी समकोण त्रिभुज समरूप नहीं होते। दो समकोण त्रिभुज तभी समरूप होते हैं जब उनके न्यून कोण समान हों, या समान रूप से कहें तो जब दो संगत भुजाओं का अनुपात समान हो। 30-60-90 त्रिभुज और 45-45-90 त्रिभुज दोनों समकोण त्रिभुज हैं और समरूप नहीं हैं, क्योंकि उनकी भुजाओं के अनुपात 1:√3:2 और 1:1:√2 भिन्न हैं।