Към основното съдържание

Интерактивен геометричен решател

Калкулатор за правоъгълен триъгълник

Две стойности на входа. Целият триъгълник на изхода.

Въведете произволни две известни стойности и калкулаторът решава целия правоъгълен триъгълник вместо вас — двата катета, хипотенузата, двата остри ъгъла, лицето, периметъра и височината. Диаграмата се преначертава в мащаб, докато пишете, а самия триъгълник можете да влачите, за да видите как реагира всяка величина.

Жива диаграма

Начертано в мащаб
Жива диаграма a b c 90°

Влачете някой от лилавите манипулатори, за да промените формата на триъгълника. Използвайте стрелките за фина настройка стъпка по стъпка.

Опитайте класически триъгълник

Вашите измервания

единици
единици
единици
°
°
единици²
Фиксиран на 90°

Производни резултати

Периметър
- единици
Лице
- единици²
Височина h
- единици
Радиус на вписаната окръжност r
- единици
Радиус на описаната окръжност R
- единици

Как да използвате калкулатора

  1. 1 Въведете това, което знаете Р- адайте произволни две стойности — две страни, страна и остър ъгъл или страна и лицето.
  2. 2 Прочетете пълното решение Всяка останала страна, ъгъл и производна величина се попълва веднага, закръглена до избраната от вас точност.
  3. 3 Влачете и изследвайте Хванете манипулатор върху диаграмата, за да промените формата на триъгълника, и наблюдавайте как числата се променят в реално време.

Всяка стойност се изчислява във вашия браузър. Нищо от въведеното не се изпраща, не се записва и не се съхранява.

Всичко, което калкулаторът изчислява вместо вас

Формулите зад отговорите

Правоъгълният триъгълник се определя само от две независими величини. След като ги зададете, всичко останало следва от Питагоровата теорема и основните тригонометрични отношения. Ето какво точно се случва зад диаграмата.

Питагорова теорема

c² = a² + b²

Квадратът на хипотенузата е равен на сбора от квадратите на двата катета. След преобразуване формулата дава всяка липсваща страна: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²), b = √(c² − a²).

Тригонометрични отношения

sin A = a / c · cos A = b / c · tan A = a / b

Синусът е отношението на срещуположния катет към хипотенузата, косинусът — на прилежащия катет към хипотенузата, тангенсът — на срещуположния към прилежащия катет. Обратните функции (asin, acos, atan) дават ъгъла по две страни.

Допълнителни ъгли

A + B = 90°

Сборът от двата остри ъгъла винаги е 90°, защото третият ъгъл е правият. Щом знаете единия остър ъгъл, веднага знаете и другия.

Лице и периметър

Area = (a · b) / 2 · P = a + b + c

Катетите са перпендикулярни, затова играят ролята на основа и височина. Периметърът е просто сборът от трите страни.

Височина към хипотенузата

h = (a · b) / c

Височината, спусната от правия ъгъл към хипотенузата, разделя триъгълника на два по-малки триъгълника, подобни на изходния.

Радиус на вписаната и описаната окръжност

r = (a + b − c) / 2 · R = c / 2

Описаната около правоъгълен триъгълник окръжност винаги има хипотенузата за диаметър — пряко следствие от теоремата на Талес.

Методът

Как работи Калкулатор за правоъгълен триъгълник

Решателят никога не гадае. Той избира точно това съотношение, което съответства на въведената от вас двойка стойности, а след това извежда всичко останало от резултата.

  1. 1

    Проследява последните ви две въведени стойности

    Правоъгълният триъгълник има точно две степени на свобода. Калкулаторът запомня двете последно използвани полета и ги приема за известната двойка, така че най-новата ви стойност винаги се зачита.

  2. 2

    Избира правилното съотношение

    Два катета се решават с Питагоровата теорема. Страна и ъгъл — чрез синус, косинус или тангенс. Страна и лице — чрез връзката основа–височина. Всеки случай има решение в затворен вид: без итерации и без приближения.

  3. 3

    Проверява, преди да чертае

    Хипотенуза, по-къса от катет, неположителна дължина или остър ъгъл извън обхвата 0°–90° се отхвърлят с ясно съобщение вместо с подвеждащ резултат.

  4. 4

    Преначертава в мащаб

    SVG диаграмата се изгражда наново от решения триъгълник при всяка промяна, като запазва истинските пропорции, така че триъгълникът 3-4-5 наистина изглежда като триъгълник 3-4-5.

Всичко работи локално във вашия браузър. Нито едно въведено измерване не се изпраща никъде.

Справочни данни

Често срещани правоъгълни триъгълници накратко

Питагорови тройки и двата специални триъгълника, които се срещат почти на всеки изпит по геометрия. Лентата показва лицето на всеки триъгълник спрямо най-голямото в таблицата.

Таблица на често срещани правоъгълни триъгълници с техните страни, остри ъгли и лица.
Триъгълник Катет a Катет b Хипотенуза Ъгъл A Ъгъл B Лице Относително лице
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

Всяко кратно на Питагорова тройка също е тройка — умножете 3-4-5 по десет и 30-40-50 пак е съвършен правоъгълен триъгълник.

Тригонометрични стойности за стандартните ъгли

Стойности на синус, косинус и тангенс за ъглите, които най-вероятно ще срещнете.

Стойности на синус, косинус и тангенс за ъглите, които най-вероятно ще срещнете.
Ъгъл sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

Въпроси

Често задавани въпроси

Нещата, за които хората питат най-често при решаване на правоъгълни триъгълници.

Как се нарича най-дългата страна в правоъгълния триъгълник?

Най-дългата страна в правоъгълния триъгълник се нарича хипотенуза. Хипотенузата лежи срещу ъгъла от 90° и се означава като страна c. Дължината ѝ следва от двата катета като c = √(a² + b²), което я прави по-дълга от страната a и страната b във всеки правоъгълен триъгълник.

Колко оси на симетрия има правоъгълният триъгълник?

Правоъгълният триъгълник има 1 ос на симетрия, когато е равнобедрен, и 0 оси на симетрия във всички останали случаи. Равнобедреният случай е триъгълникът 45-45-90, при който двата катета са с еднаква дължина, а оста на симетрия минава от правия ъгъл до средата на хипотенузата. Разностранен правоъгълен триъгълник като 3-4-5 няма нито една ос на симетрия.

Как да намеря хипотенузата на правоъгълен триъгълник?

Р- а да намерите хипотенузата, извадете квадратен корен от сбора на квадратите на двата катета: c = √(a² + b²). Р- а катети 3 и 4 получаваме c = √(9 + 16) = √25 = 5. Ако вместо две страни са дадени катет и остър ъгъл, използвайте c = a / sin(α) или c = b / cos(α).

Може ли правоъгълен триъгълник да има две равни страни?

Да, правоъгълен триъгълник може да има две равни страни. Двата катета могат да са равни, което дава равнобедрения правоъгълен триъгълник 45-45-90 с хипотенуза a√2 и два остри ъгъла от 45°. И трите страни обаче не могат да са равни, защото равните страни налагат три ъгъла от 60°, а правоъгълният триъгълник изисква ъгъл от 90°.

Всички правоъгълни триъгълници подобни ли са?

Не, не всички правоъгълни триъгълници са подобни. Два правоъгълни триъгълника са подобни само когато острите им ъгли съвпадат или, което е равносилно, когато отношението на две съответни страни е едно и също. Триъгълникът 30-60-90 и триъгълникът 45-45-90 са и двата правоъгълни и не са подобни, защото отношенията на страните им 1:√3:2 и 1:1:√2 се различават.

Две стойности на входа. Целият триъгълник на изхода.

Решете всеки правоъгълен триъгълник мигновено. Въведете две известни стойности и получете всички страни, ъгли, лице, периметър и височина заедно с жива, подвижна диаграма.

Отворете калкулатора