Основи

Какво е правоъгълен триъгълник?

Правоъгълният триъгълник е триъгълник с един вътрешен ъгъл от точно 90°. Ъгълът от 90° е правият ъгъл, а страната срещу него е хипотенузата, най-дългата от трите страни.

Правоъгълният триъгълник има 3 страни и 3 ъгъла, означени по конвенция, която този калкулатор споделя с повечето учебници:

  • Страна a и страна b са катетите, двете страни, различни от хипотенузата, които се срещат в правия ъгъл.
  • Страна c е хипотенузата, страната срещу ъгъл C.
  • Ъгъл A лежи срещу страна a, ъгъл B лежи срещу страна b, а ъгъл C е 90°.

Много източници означават двата остри ъгъла с α (алфа) и β (бета), а θ (тета) използват за ъгъла, който се разглежда. Ъгъл A и α означават една и съща величина, затова формула, записана с α, работи без промяна и с ъгъл A.

Фигура 1: Елементи на правоъгълния триъгълник

a b c h α β B A C
Катетите a и b се срещат в правия ъгъл C. Хипотенузата c лежи срещу този прав ъгъл. Височината h е спусната от C перпендикулярно към c.

Във всеки правоъгълен триъгълник важат две правила:

  • Двата остри ъгъла са допълнителни, затова ъгъл A + ъгъл B = 90°. Сборът от трите ъгъла е 180°, а ъгъл C вече заема 90° от него.
  • Трите страни удовлетворяват Питагоровата теорема, a² + b² = c². Връзката важи и в обратна посока: триъгълник, в който квадратът на най-дългата страна е равен на сбора от квадратите на другите две, е правоъгълен.

Правоъгълният триъгълник е разностранен, когато трите страни са с различна дължина, и равнобедрен, когато двата катета са равни, което прави двата остри ъгъла равни на 45°. Нито един правоъгълен триъгълник не е равностранен, защото равните страни изискват три ъгъла от 60°.

Правоъгълен триъгълник, чиито три страни са цели числа, е Питагоров триъгълник, а трите дължини образуват Питагорова тройка, например 3, 4, 5 или 5, 12, 13.

Височината h минава от върха на правия ъгъл перпендикулярно към хипотенузата. Височината разделя изходния триъгълник на 2 по-малки триъгълника, всеки от които е подобен на другия и на триъгълника, от който са получени.

Правоъгълните триъгълници са основата на тригонометрията. Синус, косинус, тангенс и котангенс се дефинират като отношения на дължините на страните на правоъгълен триъгълник, затова калкулаторът за страни и ъгли на правоъгълен триъгълник служи и като инструмент за пресмятане на тригонометрични функции.

Работа с инструмента

Как да използвате калкулатора за правоъгълен триъгълник

  1. Изберете раздел. Решаване приема всяка комбинация от входни данни, Питагорова теорема ограничава полетата до трите страни, а Специални триъгълници мащабира триъгълник 30-60-90 или 45-45-90 по едно измерване.
  2. Въведете първата известна стойност в нейното поле: страна a, страна b, страна c, ъгъл A, ъгъл B или лицето.
  3. Въведете втората известна стойност. Диаграмата се преначертава в мащаб и всички останали полета се попълват веднага.
  4. Прочетете резултатите: липсващите дължини на страните, двата остри ъгъла, лицето, периметъра, височината, радиуса на вписаната окръжност и радиуса на описаната окръжност.
  5. Влачете някой от лилавите манипулатори върху диаграмата, за да промените формата на триъгълника, или натискайте стрелките за промяна стъпка по стъпка. Задайте броя знаци след десетичната запетая: 0, 2, 4 или 6.

Калкулаторът приема 6 комбинации от входни данни:

  • два катета: страна a и страна b
  • един катет и хипотенузата: страна a и страна c или страна b и страна c
  • един катет и остър ъгъл: страна a и ъгъл A или страна b и ъгъл B
  • хипотенузата и остър ъгъл: страна c и ъгъл A или страна c и ъгъл B
  • един катет и лицето
  • хипотенузата и лицето

Два ъгъла са единствената двойка, която калкулаторът отхвърля. Ъгъл A и ъгъл B определят формата на триъгълника, но не казват нищо за размера му, затова безброй триъгълници ги удовлетворяват.

Мерните единици избирате вие. Калкулаторът не зависи от единиците: въведете 5 и получете 5 в инчове, сантиметри, футове или метри, стига всички дължини да са в една и съща единица. Хипотенуза 13 ft (3.96 m) и катет 5 ft (1.52 m) дават втори катет 12 ft (3.66 m). Ъглите са в градуси. За да ги превърнете в радиани, умножете по π/180: 45° е π/4 rad, 60° е π/3 rad, а 90° е π/2 rad.

Дължини на страните

Как да намерите липсващата страна на правоъгълен триъгълник

За да намерите липсващата страна на правоъгълен триъгълник, приложете Питагоровата теорема, когато са известни две страни, или тригонометрично отношение, когато са известни една страна и един остър ъгъл. Има 3 изходни случая и всеки има своя формула.

Намиране на хипотенузата по две страни

За да намерите хипотенузата по двата катета, съберете квадратите на катетите и извадете квадратен корен.

c = √(a² + b²)

Формулата е Питагоровата теорема, решена спрямо c. Квадратът на катет дава лицето на квадрат, построен върху този катет, а двата по-малки квадрата заедно са равни на квадрата, построен върху хипотенузата.

Фигура 2: Питагоровата теорема чрез лица

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5
Върху всяка страна на триъгълник 3-4-5 е построен квадрат. Двата по-малки квадрата имат лица 9 и 16 квадратни единици, които заедно са равни на 25-те квадратни единици на най-големия квадрат.

Решен пример

Катет 3 in (7.62 cm) и катет 4 in (10.16 cm) дават хипотенуза 5 in (12.7 cm).

c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in

Намиране на катет по хипотенузата и една страна

За да намерите катет по хипотенузата и другия катет, извадете квадрата на известния катет от квадрата на хипотенузата и извадете квадратен корен.

a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)

Решен пример

Хипотенуза 13 cm (5.12 in) и катет 5 cm (1.97 in) дават втори катет 12 cm (4.72 in).

b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm

Хипотенузата трябва да е по-дълга от всеки от катетите. Стойност на c, по-малка или равна на известен катет, дава отрицателно число под корена и калкулаторът съобщава за противоречието, вместо да върне резултат.

Намиране на страна по ъгъл

За да намерите страна по ъгъл и една известна страна, изберете тригонометричното отношение, което ги свързва. Има 6 формули и правилната зависи от това коя страна знаете.

a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α)

Решен пример

Хипотенуза 10 m (32.81 ft) при α = 30° дава директно двата катета.

a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m

Синусовата теорема води до същите отговори. Във всеки триъгълник a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), а в правоъгълния триъгълник sin(C) = sin(90°) = 1, което свежда синусовата теорема до c = a / sin(A). Тригонометрията на правоъгълния триъгълник е пряк път, а не отделна система.

Ако вместо ъгъл са известни лицето и един катет, разделете удвоеното лице на известния катет. Правоъгълният триъгълник е разностранен триъгълник, в който единият катет служи за основа, а другият за височина, затова формулата за лице на триъгълник се опростява до лице = a × b / 2, и b = 2 × лице / a.

Ъгли

Как да намерите ъглите на правоъгълен триъгълник

За да намерите ъглите на правоъгълен триъгълник, приложете обратна тригонометрична функция към отношението на две известни страни. Ъгъл C винаги е 90°, затова едно пресмятане решава триъгълника: вторият остър ъгъл допълва първия до 90°.

Дадено β: α = 90° - βДадено α: β = 90° - α

Коя функция да използвате, зависи от това кои две страни знаете. Трите основни отношения се наименуват спрямо търсения ъгъл, и това е смисълът на SOHCAHTOA: синусът е срещуположната страна върху хипотенузата, косинусът е прилежащата страна върху хипотенузата, тангенсът е срещуположната страна върху прилежащата.

Фигура 3: Наименуване на страните спрямо ъгъл

срещуположна (a) прилежаща (b) хипотенуза (c) θ
Една и съща страна сменя името си според разглеждания ъгъл. Спрямо θ страната a е срещуположна, страната b е прилежаща, а страната c остава хипотенуза.

Намиране на ъгъл чрез синус

За да намерите ъгъл по срещуположната страна и хипотенузата, разделете срещуположната страна на хипотенузата и вземете аркуссинус (arcsin).

sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c)

Решен пример

Страна a с дължина 5 и хипотенуза c с дължина 13 дават ъгъл α от 22.62°.

sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

Намиране на ъгъл чрез косинус

За да намерите ъгъл по прилежащата страна и хипотенузата, разделете прилежащата страна на хипотенузата и вземете аркускосинус (arccos).

cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c)

Решен пример

Страна b с дължина 12 и хипотенуза c с дължина 13 дават същия ъгъл α от 22.62°.

cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62°

Намиране на ъгъл чрез тангенс

За да намерите ъгъл по двата катета, разделете срещуположния катет на прилежащия и вземете аркустангенс (arctan). Тангенсът е отношението, към което да посегнете, когато хипотенузата е неизвестна, защото използва двете страни, различни от хипотенузата.

tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b)

Решен пример

Катети 5 и 12 дават ъгъл α от 22.62° и ъгъл β от 67.38°.

tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38°

Аркуссинус, аркускосинус, аркустангенс и аркускотангенс дават един и същ ъгъл за един и същ триъгълник. Изберете функцията, за която вече знаете двете страни, и калкулаторът ще потвърди стойността спрямо другите отношения. Подробно правило за избора ще намерите в SOHCAHTOA обяснено, а самия метод за намиране на ъгъл в намиране на ъгъл с обратни тригонометрични функции.

Тригонометрични стойности за стандартните ъгли

Стойности на синус, косинус и тангенс за ъглите, които най-вероятно ще срещнете.

Стойности на синус, косинус и тангенс за ъглите, които най-вероятно ще срещнете.
Ъгъл sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

Пълни решения

Как да решите правоъгълен триъгълник

За да решите правоъгълен триъгълник, намерете всичките 6 величини (3 страни и 3 ъгъла) по 2 известни стойности. Ъгъл C вече е известен и е 90°, което оставя 5 неизвестни и 2 опорни данни.

Решаване на правоъгълен триъгълник по две страни

За да решите правоъгълен триъгълник по две страни, изпълнете три стъпки подред.

  1. Намерете третата страна с Питагоровата теорема.
  2. Намерете ъгъл A с обратна тригонометрична функция на две известни страни.
  3. Намерете ъгъл B като 90° минус ъгъл A.

Решен пример

Хипотенуза 13 in (33.02 cm) и катет a от 5 in (12.7 cm) решават триъгълника напълно:

b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

Триъгълникът е 5, 12, 13 с ъгли 22.62°, 67.38° и 90°.

Решаване на правоъгълен триъгълник по една страна и един ъгъл

За да решите правоъгълен триъгълник по една страна и един остър ъгъл, първо намерете втория ъгъл, а след това използвайте тригонометрично отношение за всяка липсваща страна.

  1. Извадете известния остър ъгъл от 90°, за да получите другия остър ъгъл.
  2. Умножете или разделете известната страна на синус, косинус или тангенс, за да получите всяка липсваща страна.
  3. Проверете резултата с Питагоровата теорема.

Решен пример

Хипотенуза 10 m (32.81 ft) и ъгъл α от 30° решават триъгълника напълно:

β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mпроверка: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10²

Може ли да се реши правоъгълен триъгълник само по една страна?

Не, само една страна не е достатъчна, за да се реши правоъгълен триъгълник. Една дължина определя мащаба на триъгълника, но оставя формата отворена, затова безброй правоъгълни триъгълници имат тази страна. Добавете към страната един от неправите ъгли и триъгълникът може да се реши по 6 начина:

  1. Умножете хипотенузата по sin(θ), за да получите дължината на страната срещу ъгъла.
  2. Умножете хипотенузата по cos(θ), за да получите страната, прилежаща на ъгъла.
  3. Разделете прилежащия катет на cos(θ), за да получите хипотенузата.
  4. Умножете прилежащата страна по tan(θ), за да получите страната срещу ъгъла.
  5. Разделете срещуположната страна на sin(θ), за да получите хипотенузата.
  6. Разделете срещуположната страна на tan(θ), за да получите страната, прилежаща на ъгъла.

Една страна и лицето също работят като двойка. Въведете ги в калкулатора и вторият катет следва от лице = a × b / 2, а хипотенузата следва от Питагоровата теорема.

Производни величини

Величини на правоъгълния триъгълник

Решеният правоъгълен триъгълник дава 5 производни величини освен страните и ъглите: лице, периметър, височина, радиус на вписаната окръжност и радиус на описаната окръжност. Калкулаторът показва и петте заедно с дължините на страните.

Лице на правоъгълен триъгълник

За да намерите лицето на правоъгълен триъгълник, умножете двата катета и разделете на 2. Катетите са перпендикулярни, затова единият служи за основа, а другият за височина.

area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2

Триъгълник с катети 6 cm (2.36 in) и 8 cm (3.15 in) има лице 24 cm² (3.72 in²). Вторият вариант използва хипотенузата за основа и височината за височина и дава същия резултат.

Периметър на правоъгълен триъгълник

За да намерите периметъра на правоъгълен триъгълник, съберете дължините на трите страни.

P = a + b + c

Триъгълник 3-4-5, измерен във футове, има периметър 12 ft (3.66 m). Ако знаете само двата катета, първо пресметнете хипотенузата, защото за периметъра са нужни и трите страни.

Височина на правоъгълен триъгълник

Височината на правоъгълен триъгълник е перпендикулярното разстояние от върха на правия ъгъл до хипотенузата. Умножете катетите и разделете на хипотенузата.

h = (a × b) / c

Височината разделя хипотенузата на две отсечки, p и q, и образува два по-малки триъгълника, подобни на изходния. От това подобие следват три зависимости със средно геометрично, изложени изцяло в ръководството за теоремата за височината в правоъгълен триъгълник.

h² = p × qa² = p × cb² = q × c

Фигура 4: Височината и двете ѝ отсечки

a b h q p
Височината h пресича хипотенузата под прав ъгъл и я разделя на отсечки p и q. Всеки от по-малките триъгълници е подобен на изходния.

Радиус на вписаната и описаната окръжност

Радиусът на вписаната окръжност r е радиусът на най-голямата окръжност, която се побира в триъгълника, а радиусът на описаната окръжност R е радиусът на окръжността, минаваща през трите върха.

r = (a + b - c) / 2R = c / 2

Радиусът на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник винаги е половината от хипотенузата, защото хипотенузата е диаметър на описаната окръжност. Триъгълник 3-4-5 има радиус на вписаната окръжност 1 и радиус на описаната окръжност 2.5.

Лице
6
Периметър
12
Височина
2.4
Радиус на вписаната окръжност
1
Радиус на описаната окръжност
2.5

Петте производни величини на правоъгълен триъгълник 3-4-5.

Справочник

Специални правоъгълни триъгълници

Има 4 правоъгълни триъгълника, които си струва да запомните: триъгълникът 30-60-90, триъгълникът 45-45-90, триъгълникът 3-4-5 и триъгълникът 5-12-13. Първите два имат фиксирани ъгли и фиксирани отношения на страните, а последните два са Питагорови тройки с цели страни. Ръководството за специалните правоъгълни триъгълници сравнява първите два един до друг.

Триъгълник 30-60-90

Триъгълникът 30-60-90 има страни в отношение 1 : √3 : 2. Най-късата страна лежи срещу ъгъла от 30°, средната страна лежи срещу ъгъла от 60°, а хипотенузата лежи срещу правия ъгъл и е точно два пъти по-дълга от най-късата страна.

Фигура 5: Триъгълник 30-60-90

1 √3 2 30° 60°
Половината от равностранен триъгълник. Едно измерване мащабира и трите страни, защото отношението 1 : √3 : 2 никога не се променя.

Една известна страна на триъгълник 30-60-90 определя другите две. Къс катет 5 cm (1.97 in) дава дълъг катет 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) и хипотенуза 10 cm (3.94 in). Триъгълникът се използва за пресмятане на тригонометрични функции за кратни на π/6, и оттам идват точните стойности sin(30°) = 1/2 и cos(30°) = √3/2.

Триъгълник 45-45-90

Триъгълникът 45-45-90 има страни в отношение 1 : 1 : √2. Двата катета са с еднаква дължина, което го прави равнобедрения правоъгълен триъгълник и му дава 1 ос на симетрия.

Фигура 6: Триъгълник 45-45-90

1 1 √2 45° 45°
Равнобедреният правоъгълен триъгълник. Равните катети правят двата остри ъгъла равни на 45°, а хипотенузата е a√2.

В триъгълник 45-45-90 катет 5 in (12.7 cm) дава хипотенуза 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). Хипотенуза 5 работи в обратна посока: разделете на √2 и получете катети по 3.54. Триъгълникът 45-45-90 дава стойностите на тригонометричните функции за кратни на π/4, където sin(45°) и cos(45°) са равни на √2/2.

Правоъгълен триъгълник 3-4-5

Триъгълникът 3-4-5 е най-малката Питагорова тройка, с остри ъгли 36.87° и 53.13°. Целите страни го правят стандартна проверка за прав ъгъл на строителната площадка, метод, описан в правилото на триъгълника 3-4-5.

Фигура 7: Триъгълник 3-4-5 върху единична мрежа

3 4 5 36.87° 53.13°
Три единици нагоре, четири единици настрани, пет единици по хипотенузата. Всяко кратно на 3-4-5, например 6-8-10 или 30-40-50, също е правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник 5-12-13

Триъгълникът 5-12-13 е втората най-малка Питагорова тройка, с остри ъгли 22.62° и 67.38°. Страните му удовлетворяват 25 + 144 = 169, а тясната му форма е подходяща за разчертаване там, където триъгълник 3-4-5 е твърде широк за мястото.

Фигура 8: Триъгълник 5-12-13

5 12 13 22.62° 67.38°
Дълга и тясна Питагорова тройка с ъгъл 22.62° в далечния край на хипотенузата.

Мащабирането на тройка запазва правия ъгъл. Умножете 3-4-5 по 10 за 30-40-50 или 5-12-13 по 2 за 10-24-26, и двата остават правоъгълни триъгълници със същите остри ъгли. По-пълен справочен списък има в ръководството за Питагоровите тройки.

Таблица на често срещани правоъгълни триъгълници с техните страни, остри ъгли и лица.
Триъгълник Катет a Катет b Хипотенуза Ъгъл A Ъгъл B Лице Относително лице
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

Всяко кратно на Питагорова тройка също е тройка — умножете 3-4-5 по десет и 30-40-50 пак е съвършен правоъгълен триъгълник.

Приложения

Практически приложения на правоъгълните триъгълници

Геометрията на правоъгълния триъгълник се появява навсякъде, където височина, разстояние или ъгъл трябва да се пресметнат без пряко измерване. Има 4 области, които разчитат на нея всеки ден: строителство, инженерство, навигация и ремонт в дома. Решени случаи са събрани в текстови задачи с правоъгълен триъгълник.

Фигура 9: Три правоъгълни триъгълника от ежедневието

височина хоризонтала Наклон на покрива височина основа стълба Ъгъл на стълбата височина хоризонтала рампа Наклон на рампата
Наклонът на покрив, поставянето на стълба и наклонът на рампа се свеждат до един правоъгълен триъгълник с две известни стойности.

Строителство и архитектура

Строителите използват правоъгълни триъгълници, за да проверяват прави ъгли, да задават наклон на покрива и да разкрояват косите греди на стълби. Методът 3-4-5 поставя рамка под прав ъгъл без ъгломер: отмерете 3 ft (0.91 m) по единия ръб, 4 ft (1.22 m) по другия и нагласете, докато диагоналът стане точно 5 ft (1.52 m).

Наклонът на покрива е отношението на височината към хоризонталата, а дължината на покривната греда е хипотенузата на този триъгълник. Височина 6 in на 12 in хоризонтала (152 mm на 305 mm) дава покривна греда √(6² + 12²) = 13.42 in на фут хоризонтала и ъгъл на наклона arctan(6 / 12) = 26.57°.

Инженерство и физика

Инженерите разлагат сили и скорости на перпендикулярни компоненти с помощта на правоъгълни триъгълници. Сила 200 N, приложена под 35° над хоризонталата, се разлага на хоризонтална компонента 200 × cos(35°) = 163.8 N и вертикална компонента 200 × sin(35°) = 114.7 N.

Пресмятанията на наклони следват същата схема. Рампа за инвалидни колички с наклон 1:12 се издига с 1 in на всеки 12 in хоризонтала (25.4 mm на 305 mm), което е ъгъл arctan(1 / 12) = 4.76°.

Навигация и геодезия

Геодезистите измерват ъгъл на издигане или ъгъл на понижение и го превръщат във височина или разстояние. Ако стоите на 50 m (164 ft) от кула при ъгъл на издигане 32°, кулата е на 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) над нивото на очите.

Изчисляването на полигонов ход разлага всяко звено от измерването на компоненти север-юг и изток-запад със синус и косинус, след което ги сумира. Пилотите и моряците използват същия метод, за да превърнат курс и разстояние в промяна на географската ширина и дължина.

Направи си сам и ремонт в дома

В домашните проекти правоъгълните триъгълници помагат, когато диагоналът има значение. Диагоналът на правоъгълник е хипотенуза на два правоъгълни триъгълника, затова отвор 40 in на 30 in (101.6 cm на 76.2 cm) има диагонал √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).

Сравняването на този диагонал с другия е най-бързият начин да потвърдите, че рамка, дървена настилка или плочки са под прав ъгъл. Равните диагонали означават прави ъгли. Правоъгълните триъгълници помагат и при оразмеряване на стенна стойка за телевизор, подпора за градинска леха и ъгъла на рязане на первази на фуга.

Въпроси

Често задавани въпроси

Как се нарича най-дългата страна в правоъгълния триъгълник?

Най-дългата страна в правоъгълния триъгълник се нарича хипотенуза. Хипотенузата лежи срещу ъгъла от 90° и се означава като страна c. Дължината ѝ следва от двата катета като c = √(a² + b²), което я прави по-дълга от страната a и страната b във всеки правоъгълен триъгълник.

Колко оси на симетрия има правоъгълният триъгълник?

Правоъгълният триъгълник има 1 ос на симетрия, когато е равнобедрен, и 0 оси на симетрия във всички останали случаи. Равнобедреният случай е триъгълникът 45-45-90, при който двата катета са с еднаква дължина, а оста на симетрия минава от правия ъгъл до средата на хипотенузата. Разностранен правоъгълен триъгълник като 3-4-5 няма нито една ос на симетрия.

Как да намеря хипотенузата на правоъгълен триъгълник?

За да намерите хипотенузата, извадете квадратен корен от сбора на квадратите на двата катета: c = √(a² + b²). За катети 3 и 4 получаваме c = √(9 + 16) = √25 = 5. Ако вместо две страни са дадени катет и остър ъгъл, използвайте c = a / sin(α) или c = b / cos(α).

Може ли правоъгълен триъгълник да има две равни страни?

Да, правоъгълен триъгълник може да има две равни страни. Двата катета могат да са равни, което дава равнобедрения правоъгълен триъгълник 45-45-90 с хипотенуза a√2 и два остри ъгъла от 45°. И трите страни обаче не могат да са равни, защото равните страни налагат три ъгъла от 60°, а правоъгълният триъгълник изисква ъгъл от 90°.

Всички правоъгълни триъгълници подобни ли са?

Не, не всички правоъгълни триъгълници са подобни. Два правоъгълни триъгълника са подобни само когато острите им ъгли съвпадат или, което е равносилно, когато отношението на две съответни страни е едно и също. Триъгълникът 30-60-90 и триъгълникът 45-45-90 са и двата правоъгълни и не са подобни, защото отношенията на страните им 1:√3:2 и 1:1:√2 се различават.