মৌলিক ধারণা

সমকোণী ত্রিভুজ কী?

সমকোণী ত্রিভুজ হল এমন একটি ত্রিভুজ যার একটি অন্তঃকোণ ঠিক 90°। 90° কোণটি সমকোণ, এবং এর বিপরীত বাহুটি অতিভুজ, যা তিনটি বাহুর মধ্যে দীর্ঘতম।

একটি সমকোণী ত্রিভুজে 3টি বাহু ও 3টি কোণ থাকে, যাদের নাম এমন একটি রীতি অনুযায়ী রাখা হয় যা এই ক্যালকুলেটর ও বেশিরভাগ পাঠ্যবই মেনে চলে:

  • বাহু a ও বাহু b হল লম্ববাহু, অর্থাৎ অতিভুজ ছাড়া সেই দুটি বাহু যারা সমকোণে মিলিত হয়।
  • বাহু c হল অতিভুজ, অর্থাৎ কোণ C-এর বিপরীত বাহু।
  • কোণ A বাহু a-এর বিপরীতে, কোণ B বাহু b-এর বিপরীতে, এবং কোণ C-এর মাপ 90°।

অনেক উৎস দুটি সূক্ষ্মকোণকে α (alpha) ও β (beta) লেখে, এবং যে কোণ নিয়ে আলোচনা চলছে তার জন্য θ (theta) ব্যবহার করে। কোণ A ও α একই পরিমাপের নাম, তাই α দিয়ে লেখা সূত্র কোণ A-এর ক্ষেত্রে অপরিবর্তিতভাবে কাজ করে।

চিত্র 1: সমকোণী ত্রিভুজের গঠন

a b c h α β B A C
বাহু a ও b সমকোণ C-তে মিলিত হয়। অতিভুজ c সেই সমকোণের বিপরীতে থাকে। লম্ব h, C থেকে c-এর উপর লম্বভাবে নামে।

প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজে দুটি নিয়ম খাটে:

  • দুটি সূক্ষ্মকোণ পরস্পর পূরক, তাই কোণ A + কোণ B = 90°। তিনটি কোণের সমষ্টি 180°, এবং কোণ C সেই মোটের 90° আগেই নিয়ে নেয়।
  • তিনটি বাহু পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে, a² + b² = c²। সম্পর্কটি উল্টো দিকেও খাটে: যে ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুর বর্গ অপর দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির সমান, সেটি সমকোণী।

তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য আলাদা হলে সমকোণী ত্রিভুজটি বিষমবাহু, আর দুটি লম্ববাহু সমান হলে সমদ্বিবাহু, যার ফলে দুটি সূক্ষ্মকোণই 45° হয়। কোনো সমকোণী ত্রিভুজ সমবাহু নয়, কারণ সমান বাহুর জন্য তিনটি 60° কোণ দরকার।

যে সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি বাহুই পূর্ণসংখ্যা, সেটি পিথাগোরীয় ত্রিভুজ, এবং তিনটি দৈর্ঘ্য একটি পিথাগোরীয় ত্রয়ী গঠন করে, যেমন 3, 4, 5 বা 5, 12, 13।

লম্ব h সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অতিভুজের উপর লম্বভাবে যায়। লম্বটি মূল ত্রিভুজকে 2টি ছোট ত্রিভুজে ভাগ করে, যারা পরস্পরের এবং যে ত্রিভুজ থেকে তারা এসেছে তার সদৃশ।

সমকোণী ত্রিভুজ ত্রিকোণমিতির ভিত্তি। সাইন, কোসাইন, ট্যানজেন্ট ও কোট্যানজেন্ট সমকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্যের অনুপাত হিসেবে সংজ্ঞায়িত, এই কারণেই সমকোণী ত্রিভুজের বাহু ও কোণের ক্যালকুলেটর ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান নির্ণয়ের সরঞ্জাম হিসেবেও কাজ করে।

টুল ব্যবহার

সমকোণী ত্রিভুজ ক্যালকুলেটর কীভাবে ব্যবহার করবেন

  1. একটি ট্যাব বেছে নিন। ত্রিভুজ সমাধান প্রতিটি ইনপুট সমন্বয় সামলায়, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ঘরগুলিকে তিনটি বাহুতে সীমিত করে, এবং বিশেষ ত্রিভুজ একটি পরিমাপ থেকে 30-60-90 বা 45-45-90 ত্রিভুজের মাপ ঠিক করে।
  2. প্রথম জানা মানটি তার ঘরে টাইপ করুন: বাহু a, বাহু b, বাহু c, কোণ A, কোণ B অথবা ক্ষেত্রফল।
  3. দ্বিতীয় জানা মানটি টাইপ করুন। চিত্রটি মাপ অনুযায়ী নতুন করে আঁকা হয় এবং বাকি প্রতিটি ঘর সঙ্গে সঙ্গে পূরণ হয়ে যায়।
  4. ফলাফল পড়ুন: অজানা বাহুর দৈর্ঘ্য, দুটি সূক্ষ্মকোণ, ক্ষেত্রফল, পরিসীমা, লম্ব, অন্তর্ব্যাসার্ধ ও পরিব্যাসার্ধ।
  5. ত্রিভুজের আকৃতি বদলাতে চিত্রের যেকোনো বেগুনি হাতল টেনে নিন, অথবা এক-ধাপের পরিবর্তনের জন্য তির-চিহ্ন কী চাপুন। দশমিক নিয়ন্ত্রণটি 0, 2, 4 বা 6 ঘরে সেট করুন।

ক্যালকুলেটর 6টি ইনপুট সমন্বয় গ্রহণ করে:

  • দুটি লম্ববাহু: বাহু a ও বাহু b
  • একটি লম্ববাহু ও অতিভুজ: বাহু a ও বাহু c, অথবা বাহু b ও বাহু c
  • একটি লম্ববাহু ও একটি সূক্ষ্মকোণ: বাহু a ও কোণ A, অথবা বাহু b ও কোণ B
  • অতিভুজ ও একটি সূক্ষ্মকোণ: বাহু c ও কোণ A, অথবা বাহু c ও কোণ B
  • একটি লম্ববাহু ও ক্ষেত্রফল
  • অতিভুজ ও ক্ষেত্রফল

দুটি কোণই একমাত্র জোড়া যা ক্যালকুলেটর গ্রহণ করে না। কোণ A ও কোণ B ত্রিভুজের আকৃতি ঠিক করে কিন্তু তার আকার সম্পর্কে কিছুই বলে না, তাই অসংখ্য ত্রিভুজ এগুলি মেনে চলে।

একক আপনিই বেছে নিন। ক্যালকুলেটর কোনো এককে আবদ্ধ নয়: 5 দিন এবং 5-ই ফেরত পড়ুন, ইঞ্চি, সেন্টিমিটার, ফুট বা মিটারে, যতক্ষণ প্রতিটি দৈর্ঘ্য একই এককে থাকে। 13 ft (3.96 m) অতিভুজ ও 5 ft (1.52 m) লম্ববাহু থেকে 12 ft (3.66 m) দ্বিতীয় লম্ববাহু পাওয়া যায়। কোণ ডিগ্রিতে থাকে। রেডিয়ানে রূপান্তর করতে π/180 দিয়ে গুণ করুন: 45° হল π/4 rad, 60° হল π/3 rad, এবং 90° হল π/2 rad।

বাহুর দৈর্ঘ্য

সমকোণী ত্রিভুজের অজানা বাহু কীভাবে নির্ণয় করবেন

সমকোণী ত্রিভুজের অজানা বাহু নির্ণয় করতে, দুটি বাহু জানা থাকলে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করুন, অথবা একটি বাহু ও একটি সূক্ষ্মকোণ জানা থাকলে ত্রিকোণমিতিক অনুপাত প্রয়োগ করুন। শুরু করার 3টি অবস্থা আছে, এবং প্রতিটির নিজস্ব সূত্র আছে।

দুটি বাহু থেকে অতিভুজ নির্ণয়

দুটি লম্ববাহু থেকে অতিভুজ নির্ণয় করতে, লম্ববাহু দুটির বর্গ যোগ করুন এবং বর্গমূল নিন।

c = √(a² + b²)

সূত্রটি c-এর জন্য পুনর্বিন্যস্ত পিথাগোরাসের উপপাদ্য। একটি লম্ববাহুর বর্গ করলে সেই বাহুর উপর গঠিত বর্গের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়, এবং ছোট দুটি বর্গ একসঙ্গে অতিভুজের উপর গঠিত বর্গের সমান।

চিত্র 2: ক্ষেত্রফল হিসেবে পিথাগোরাসের উপপাদ্য

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5
একটি 3-4-5 ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর উপর একটি করে বর্গ আঁকা। ছোট দুটি বর্গে 9 ও 16 বর্গ একক রয়েছে, যা একসঙ্গে বৃহত্তম বর্গের 25 বর্গ এককের সমান।

সমাধান করা উদাহরণ

3 in (7.62 cm) লম্ববাহু ও 4 in (10.16 cm) লম্ববাহু থেকে 5 in (12.7 cm) অতিভুজ পাওয়া যায়।

c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in

অতিভুজ ও একটি বাহু থেকে লম্ববাহু নির্ণয়

অতিভুজ ও অপর লম্ববাহু থেকে একটি লম্ববাহু নির্ণয় করতে, অতিভুজের বর্গ থেকে জানা লম্ববাহুর বর্গ বিয়োগ করুন এবং বর্গমূল নিন।

a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)

সমাধান করা উদাহরণ

13 cm (5.12 in) অতিভুজ ও 5 cm (1.97 in) লম্ববাহু থেকে 12 cm (4.72 in) দ্বিতীয় লম্ববাহু পাওয়া যায়।

b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm

অতিভুজকে যেকোনো লম্ববাহুর চেয়ে দীর্ঘ হতেই হবে। জানা লম্ববাহুর চেয়ে ছোট বা সমান c-এর মান বর্গমূলের ভেতরে ঋণাত্মক সংখ্যা তৈরি করে, এবং ক্যালকুলেটর কোনো মান ফেরত না দিয়ে এই অসঙ্গতির কথা জানায়।

কোণ থেকে বাহু নির্ণয়

একটি কোণ ও একটি জানা বাহু থেকে বাহু নির্ণয় করতে, সেই ত্রিকোণমিতিক অনুপাতটি বেছে নিন যা দুটিকে যুক্ত করে। 6টি সূত্র আছে, এবং সঠিকটি নির্ভর করে আপনার হাতে কোন বাহু আছে তার উপর।

a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α)

সমাধান করা উদাহরণ

α = 30° সহ 10 m (32.81 ft) অতিভুজ সরাসরি দুটি লম্ববাহু দেয়।

a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m

সাইনের সূত্রও একই উত্তরে পৌঁছায়। যেকোনো ত্রিভুজে a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), এবং সমকোণী ত্রিভুজে sin(C) = sin(90°) = 1, যা সাইনের সূত্রকে সংক্ষিপ্ত করে c = a / sin(A) বানায়। সমকোণী ত্রিভুজের ত্রিকোণমিতি একটি সংক্ষিপ্ত পথ, আলাদা কোনো পদ্ধতি নয়।

কোণের বদলে ক্ষেত্রফল ও একটি লম্ববাহু জানা থাকলে, ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণকে জানা লম্ববাহু দিয়ে ভাগ করুন। সমকোণী ত্রিভুজ একটি বিষমবাহু ত্রিভুজ যার একটি লম্ববাহু ভূমি এবং অপরটি উচ্চতার কাজ করে, তাই ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র সরল হয়ে ক্ষেত্রফল = a × b / 2 হয়, এবং b = 2 × ক্ষেত্রফল / a।

কোণ

সমকোণী ত্রিভুজের কোণ কীভাবে নির্ণয় করবেন

সমকোণী ত্রিভুজের কোণ নির্ণয় করতে, দুটি জানা বাহুর অনুপাতে একটি বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন প্রয়োগ করুন। কোণ C 90°-তে স্থির, তাই একটি গণনাতেই ত্রিভুজটি নির্ধারিত হয়: দ্বিতীয় সূক্ষ্মকোণটি প্রথমটির পূরক।

দেওয়া আছে β: α = 90° - βদেওয়া আছে α: β = 90° - α

কোন ফাংশন ব্যবহার করবেন তা নির্ভর করে কোন দুটি বাহু জানা আছে তার উপর। তিনটি মৌলিক অনুপাতের নাম রাখা হয় যে কোণ নির্ণয় করছেন তার সাপেক্ষে, আর SOHCAHTOA-র অর্থ এটিই: সাইন হল বিপরীত ভাগ অতিভুজ, কোসাইন হল সন্নিহিত ভাগ অতিভুজ, ট্যানজেন্ট হল বিপরীত ভাগ সন্নিহিত।

চিত্র 3: কোণের সাপেক্ষে বাহুর নামকরণ

বিপরীত (a) সন্নিহিত (b) অতিভুজ (c) θ
যে কোণ নিয়ে কাজ হচ্ছে, তার সঙ্গে একই বাহুর নাম বদলে যায়। θ থেকে মাপলে বাহু a বিপরীত, বাহু b সন্নিহিত, এবং বাহু c অতিভুজই থাকে।

সাইন দিয়ে কোণ নির্ণয়

বিপরীত বাহু ও অতিভুজ থেকে কোণ নির্ণয় করতে, বিপরীত বাহুকে অতিভুজ দিয়ে ভাগ করুন এবং বিপরীত সাইন (arcsin) নিন।

sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c)

সমাধান করা উদাহরণ

5 মাপের বাহু a ও 13 মাপের অতিভুজ c থেকে 22.62° কোণ α পাওয়া যায়।

sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

কোসাইন দিয়ে কোণ নির্ণয়

সন্নিহিত বাহু ও অতিভুজ থেকে কোণ নির্ণয় করতে, সন্নিহিত বাহুকে অতিভুজ দিয়ে ভাগ করুন এবং বিপরীত কোসাইন (arccos) নিন।

cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c)

সমাধান করা উদাহরণ

12 মাপের বাহু b ও 13 মাপের অতিভুজ c থেকে একই 22.62° কোণ α পাওয়া যায়।

cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62°

ট্যানজেন্ট দিয়ে কোণ নির্ণয়

দুটি লম্ববাহু থেকে কোণ নির্ণয় করতে, বিপরীত লম্ববাহুকে সন্নিহিত লম্ববাহু দিয়ে ভাগ করুন এবং বিপরীত ট্যানজেন্ট (arctan) নিন। অতিভুজ অজানা থাকলে ট্যানজেন্টই কাজের অনুপাত, কারণ এটি অতিভুজ ছাড়া অন্য দুটি বাহু ব্যবহার করে।

tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b)

সমাধান করা উদাহরণ

5 ও 12 মাপের লম্ববাহু থেকে 22.62° কোণ α ও 67.38° কোণ β পাওয়া যায়।

tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38°

বিপরীত সাইন, বিপরীত কোসাইন, বিপরীত ট্যানজেন্ট ও বিপরীত কোট্যানজেন্ট, সবগুলিই একই ত্রিভুজের জন্য একই কোণ ফেরত দেয়। যার দুটি বাহু আপনার হাতে আগে থেকেই আছে সেটি বেছে নিন, এবং ক্যালকুলেটর অন্য অনুপাতগুলির সঙ্গে মানটি মিলিয়ে নিশ্চিত করবে। বেছে নেওয়ার নিয়ম বিস্তারিত জানতে SOHCAHTOA-র ব্যাখ্যা দেখুন, আর কোণ নির্ণয়ের পদ্ধতির জন্য বিপরীত ত্রিকোণমিতি দিয়ে কোণ নির্ণয় দেখুন।

আদর্শ কোণগুলির ত্রিকোণমিতিক অনুপাত

যে কোণগুলির সঙ্গে আপনার দেখা হওয়ার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি, সেগুলির সাইন, কোসাইন ও ট্যানজেন্ট মান।

যে কোণগুলির সঙ্গে আপনার দেখা হওয়ার সম্ভাবনা সবচেয়ে বেশি, সেগুলির সাইন, কোসাইন ও ট্যানজেন্ট মান।
কোণ sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

সম্পূর্ণ সমাধান

সমকোণী ত্রিভুজ কীভাবে সমাধান করবেন

সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান করতে, 2টি জানা মান থেকে সব 6টি পরিমাপ (3টি বাহু ও 3টি কোণ) বের করুন। কোণ C আগে থেকেই 90° হিসেবে জানা, ফলে বাকি থাকে 5টি অজানা ও 2টি সূত্র।

দুটি বাহু দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান

দুটি বাহু থেকে সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান করতে, ক্রমানুসারে তিনটি ধাপ অনুসরণ করুন।

  1. পিথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে তৃতীয় বাহু নির্ণয় করুন।
  2. দুটি জানা বাহুর বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশন দিয়ে কোণ A নির্ণয় করুন।
  3. 90° থেকে কোণ A বিয়োগ করে কোণ B নির্ণয় করুন।

সমাধান করা উদাহরণ

13 in (33.02 cm) অতিভুজ ও 5 in (12.7 cm) লম্ববাহু a থেকে সম্পূর্ণ সমাধান:

b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

ত্রিভুজটি 5, 12, 13, এবং এর কোণগুলি 22.62°, 67.38° ও 90°।

একটি বাহু ও একটি কোণ দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান

একটি বাহু ও একটি সূক্ষ্মকোণ থেকে সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান করতে, প্রথমে দ্বিতীয় কোণটি নির্ণয় করুন, তারপর প্রতিটি অজানা বাহুর জন্য একটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ব্যবহার করুন।

  1. অপর সূক্ষ্মকোণটি পেতে 90° থেকে জানা সূক্ষ্মকোণটি বিয়োগ করুন।
  2. প্রতিটি অজানা বাহু পেতে জানা বাহুকে সাইন, কোসাইন বা ট্যানজেন্ট দিয়ে গুণ বা ভাগ করুন।
  3. পিথাগোরাসের উপপাদ্য দিয়ে ফলাফল যাচাই করুন।

সমাধান করা উদাহরণ

10 m (32.81 ft) অতিভুজ ও 30° কোণ α থেকে সম্পূর্ণ সমাধান:

β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mযাচাই: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10²

শুধু একটি বাহু দিয়ে কি সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান করা যায়?

না, শুধু একটি বাহু দিয়ে সমকোণী ত্রিভুজ সমাধান করা যায় না। একটি মাত্র দৈর্ঘ্য ত্রিভুজের মাপ ঠিক করে কিন্তু আকৃতি অনির্ধারিত রাখে, তাই অসংখ্য সমকোণী ত্রিভুজে সেই বাহুটি একই থাকতে পারে। বাহুটির সঙ্গে সমকোণ ছাড়া অন্য একটি কোণ যোগ করুন, তাহলে ত্রিভুজটি 6টি উপায়ে সমাধানযোগ্য হয়:

  1. কোণের বিপরীত বাহুর দৈর্ঘ্য পেতে অতিভুজকে sin(θ) দিয়ে গুণ করুন।
  2. কোণের সন্নিহিত বাহু পেতে অতিভুজকে cos(θ) দিয়ে গুণ করুন।
  3. অতিভুজ পেতে অতিভুজ নয় এমন সন্নিহিত বাহুকে cos(θ) দিয়ে ভাগ করুন।
  4. কোণের বিপরীত বাহু পেতে সন্নিহিত বাহুকে tan(θ) দিয়ে গুণ করুন।
  5. অতিভুজ পেতে বিপরীত বাহুকে sin(θ) দিয়ে ভাগ করুন।
  6. কোণের সন্নিহিত বাহু পেতে বিপরীত বাহুকে tan(θ) দিয়ে ভাগ করুন।

একটি বাহু ও ক্ষেত্রফলও জোড়া হিসেবে কাজ করে। দুটিই ক্যালকুলেটরে দিন, দ্বিতীয় লম্ববাহু ক্ষেত্রফল = a × b / 2 থেকে বেরিয়ে আসে, আর অতিভুজ আসে পিথাগোরাসের উপপাদ্য থেকে।

উদ্ভূত মান

সমকোণী ত্রিভুজের পরিমাপ

একটি সমাধান করা সমকোণী ত্রিভুজ তার বাহু ও কোণের বাইরেও 5টি উদ্ভূত পরিমাপ দেয়: ক্ষেত্রফল, পরিসীমা, লম্ব, অন্তর্ব্যাসার্ধ ও পরিব্যাসার্ধ। ক্যালকুলেটর বাহুর দৈর্ঘ্যের পাশাপাশি সব 5টিই দেখায়।

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে, দুটি লম্ববাহু গুণ করে 2 দিয়ে ভাগ করুন। লম্ববাহু দুটি পরস্পর লম্ব, তাই একটি ভূমি এবং অপরটি উচ্চতার কাজ করে।

area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2

6 cm (2.36 in) ও 8 cm (3.15 in) লম্ববাহুর একটি ত্রিভুজ 24 cm² (3.72 in²) জায়গা জুড়ে থাকে। দ্বিতীয় রূপটি অতিভুজকে ভূমি ও লম্বকে উচ্চতা হিসেবে ব্যবহার করে, এবং হুবহু একই মান দেয়।

সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা

সমকোণী ত্রিভুজের পরিসীমা নির্ণয় করতে, তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যোগ করুন।

P = a + b + c

ফুটে মাপা একটি 3-4-5 ত্রিভুজের পরিসীমা 12 ft (3.66 m)। শুধু দুটি লম্ববাহু জানা থাকলে আগে অতিভুজ গণনা করুন, কারণ পরিসীমার জন্য তিনটি বাহুই দরকার।

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব হল সমকোণের শীর্ষবিন্দু থেকে অতিভুজ পর্যন্ত লম্ব দূরত্ব। লম্ববাহু দুটি গুণ করে অতিভুজ দিয়ে ভাগ করুন।

h = (a × b) / c

লম্বটি অতিভুজকে দুটি অংশে, p ও q, ভাগ করে এবং মূল ত্রিভুজের সদৃশ দুটি ছোট ত্রিভুজ তৈরি করে। এই সাদৃশ্য থেকে তিনটি জ্যামিতিক গড় সম্পর্ক পাওয়া যায়, যা সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব উপপাদ্য নির্দেশিকায় বিস্তারিত দেওয়া আছে।

h² = p × qa² = p × cb² = q × c

চিত্র 4: লম্ব ও তার দুটি অংশ

a b h q p
লম্ব h অতিভুজের সঙ্গে সমকোণে মিলিত হয় এবং একে p ও q অংশে ভাগ করে। প্রতিটি ছোট ত্রিভুজ মূল ত্রিভুজের সদৃশ।

অন্তর্ব্যাসার্ধ ও পরিব্যাসার্ধ

অন্তর্ব্যাসার্ধ r হল ত্রিভুজের ভেতরে আঁটে এমন বৃহত্তম বৃত্তের ব্যাসার্ধ, আর পরিব্যাসার্ধ R হল তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে যাওয়া বৃত্তের ব্যাসার্ধ।

r = (a + b - c) / 2R = c / 2

সমকোণী ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ সর্বদা অতিভুজের অর্ধেক, কারণ অতিভুজই পরিবৃত্তের ব্যাস। একটি 3-4-5 ত্রিভুজের অন্তর্ব্যাসার্ধ 1 এবং পরিব্যাসার্ধ 2.5।

ক্ষেত্রফল
6
পরিসীমা
12
লম্ব
2.4
অন্তর্ব্যাসার্ধ
1
পরিব্যাসার্ধ
2.5

একটি 3-4-5 সমকোণী ত্রিভুজের পাঁচটি উদ্ভূত পরিমাপ।

তথ্যসূত্র

বিশেষ সমকোণী ত্রিভুজ

4টি সমকোণী ত্রিভুজ মনে রাখার মতো: 30-60-90 ত্রিভুজ, 45-45-90 ত্রিভুজ, 3-4-5 ত্রিভুজ ও 5-12-13 ত্রিভুজ। প্রথম দুটির কোণ ও বাহুর অনুপাত নির্দিষ্ট, আর শেষ দুটি পূর্ণসংখ্যার বাহুবিশিষ্ট পিথাগোরীয় ত্রয়ী। বিশেষ সমকোণী ত্রিভুজ নির্দেশিকা প্রথম দুটিকে পাশাপাশি তুলনা করে।

30-60-90 ত্রিভুজ

30-60-90 ত্রিভুজের বাহুগুলি 1 : √3 : 2 অনুপাতে থাকে। ক্ষুদ্রতম বাহু 30° কোণের বিপরীতে, মাঝের বাহু 60° কোণের বিপরীতে, এবং অতিভুজ সমকোণের বিপরীতে, যা ক্ষুদ্রতম বাহুর ঠিক দ্বিগুণ।

চিত্র 5: 30-60-90 ত্রিভুজ

1 √3 2 30° 60°
একটি সমবাহু ত্রিভুজের অর্ধেক। একটি পরিমাপ থেকেই তিনটি বাহুর মাপ ঠিক হয়ে যায়, কারণ 1 : √3 : 2 অনুপাত কখনো বদলায় না।

একটি 30-60-90 ত্রিভুজ-এর একটি বাহু জানা থাকলে অপর দুটি নির্ধারিত হয়। 5 cm (1.97 in) ছোট লম্ববাহু থেকে 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) বড় লম্ববাহু ও 10 cm (3.94 in) অতিভুজ পাওয়া যায়। π/6-এর গুণিতকের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান নির্ণয়ে এই ত্রিভুজ ব্যবহৃত হয়, আর সঠিক মান sin(30°) = 1/2 ও cos(30°) = √3/2 এখান থেকেই আসে।

45-45-90 ত্রিভুজ

45-45-90 ত্রিভুজের বাহুগুলি 1 : 1 : √2 অনুপাতে থাকে। দুটি লম্ববাহুর দৈর্ঘ্য সমান, যা একে সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ করে এবং এতে প্রতিসাম্যের 1টি রেখা থাকে।

চিত্র 6: 45-45-90 ত্রিভুজ

1 1 √2 45° 45°
সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ। সমান বাহুর কারণে দুটি সূক্ষ্মকোণই 45° হয়, এবং অতিভুজের মাপ a√2।

একটি 45-45-90 ত্রিভুজ-এ 5 in (12.7 cm) লম্ববাহু থেকে 5√2 = 7.07 in (17.96 cm) অতিভুজ পাওয়া যায়। 5 অতিভুজ উল্টো দিকে কাজ করে: √2 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিটি লম্ববাহু 3.54। 45-45-90 ত্রিভুজ π/4-এর গুণিতকের জন্য ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের মান দেয়, যেখানে sin(45°) ও cos(45°) দুটিই √2/2-এর সমান।

3-4-5 সমকোণী ত্রিভুজ

3-4-5 ত্রিভুজ হল ক্ষুদ্রতম পিথাগোরীয় ত্রয়ী, যার সূক্ষ্মকোণ 36.87° ও 53.13°। পূর্ণসংখ্যার বাহুর কারণে এটি নির্মাণস্থলে সমকোণী কোণা যাচাইয়ের প্রচলিত উপায়, যে পদ্ধতি 3-4-5 ত্রিভুজ নিয়ম-এ ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

চিত্র 7: একক গ্রিডে 3-4-5 ত্রিভুজ

3 4 5 36.87° 53.13°
তিন একক উপরে, চার একক আড়াআড়ি, অতিভুজ বরাবর পাঁচ একক। 3-4-5-এর প্রতিটি গুণিতক, যেমন 6-8-10 বা 30-40-50, এটিও সমকোণী ত্রিভুজ।

5-12-13 সমকোণী ত্রিভুজ

5-12-13 ত্রিভুজ হল দ্বিতীয় ক্ষুদ্রতম পিথাগোরীয় ত্রয়ী, যার সূক্ষ্মকোণ 22.62° ও 67.38°। এর বাহুগুলি 25 + 144 = 169 মেনে চলে, এবং এর সরু আকৃতি সেই বিন্যাসের কাজে উপযোগী যেখানে জায়গার তুলনায় 3-4-5 ত্রিভুজ খুব চওড়া।

চিত্র 8: 5-12-13 ত্রিভুজ

5 12 13 22.62° 67.38°
একটি লম্বা, সরু পিথাগোরীয় ত্রয়ী, যার অতিভুজের দূরের প্রান্তে 22.62° কোণ রয়েছে।

ত্রয়ীর মাপ বাড়ালেও সমকোণ অটুট থাকে। 30-40-50 পেতে 3-4-5-কে 10 দিয়ে গুণ করুন, অথবা 10-24-26 পেতে 5-12-13-কে 2 দিয়ে, এবং দুটিই একই সূক্ষ্মকোণবিশিষ্ট সমকোণী ত্রিভুজ থাকে। আরও পূর্ণাঙ্গ তালিকা পাবেন পিথাগোরীয় ত্রয়ী নির্দেশিকায়।

সাধারণ সমকোণী ত্রিভুজের সারণি, সেগুলির বাহু, সূক্ষ্মকোণ ও ক্ষেত্রফলসহ।
ত্রিভুজ বাহু a বাহু b অতিভুজ কোণ A কোণ B ক্ষেত্রফল আপেক্ষিক ক্ষেত্রফল
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

পিথাগোরীয় ত্রয়ীর যেকোনো গুণিতক নিজেও একটি ত্রয়ী: 3-4-5 কে দশ দিয়ে গুণ করুন, 30-40-50 তখনও একটি নিখুঁত সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রয়োগ

বাস্তব জীবনে সমকোণী ত্রিভুজের ব্যবহার

যেখানেই কোনো উচ্চতা, দূরত্ব বা কোণ সরাসরি না মেপে বের করতে হয়, সেখানেই সমকোণী ত্রিভুজের জ্যামিতি দেখা যায়। 4টি ক্ষেত্র প্রতিদিন এর উপর নির্ভর করে: নির্মাণ, প্রকৌশল, নৌচালনা ও গৃহ সংস্কার। সমাধান করা উদাহরণগুলি সমকোণী ত্রিভুজের কথায় লেখা সমস্যা-তে সংকলিত আছে।

চিত্র 9: দৈনন্দিন জীবনের তিনটি সমকোণী ত্রিভুজ

উত্থান বিস্তার ছাদের ঢাল উচ্চতা ভূমি মই মইয়ের কোণ উত্থান বিস্তার র‍্যাম্প র‍্যাম্পের ঢাল
ছাদের ঢাল, মই রাখার অবস্থান ও র‍্যাম্পের ঢাল, প্রতিটিই দুটি জানা মানসহ একটি সমকোণী ত্রিভুজে পরিণত হয়।

নির্মাণ ও স্থাপত্য

নির্মাতারা কোণা সমকোণী করতে, ছাদের ঢাল ঠিক করতে ও সিঁড়ির স্ট্রিংগার কাটতে সমকোণী ত্রিভুজ ব্যবহার করেন। 3-4-5 পদ্ধতি সেট স্কয়ার ছাড়াই কাঠামোকে সমকোণী করে: এক প্রান্ত বরাবর 3 ft (0.91 m) মাপুন, অন্য প্রান্ত বরাবর 4 ft (1.22 m), এবং কর্ণ ঠিক 5 ft (1.52 m) না হওয়া পর্যন্ত সমন্বয় করুন।

ছাদের ঢাল হল ছাদের বিস্তারের উপর উত্থান, এবং রাফটারের দৈর্ঘ্য হল সেই ত্রিভুজের অতিভুজ। 12 in বিস্তারে 6 in উত্থান (305 mm-এ 152 mm) থেকে প্রতি ফুট বিস্তারে √(6² + 12²) = 13.42 in রাফটার এবং arctan(6 / 12) = 26.57° ঢাল কোণ পাওয়া যায়।

প্রকৌশল ও পদার্থবিজ্ঞান

প্রকৌশলীরা সমকোণী ত্রিভুজ ব্যবহার করে বল ও বেগকে পরস্পর লম্ব উপাংশে ভাগ করেন। অনুভূমিকের 35° উপরে প্রয়োগ করা 200 N বল 200 × cos(35°) = 163.8 N অনুভূমিক উপাংশ ও 200 × sin(35°) = 114.7 N উল্লম্ব উপাংশে বিভক্ত হয়।

ঢালের গণনাও একই ধারা মেনে চলে। 1:12 নতিতে তৈরি হুইলচেয়ার র‍্যাম্প প্রতি 12 in বিস্তারে 1 in ওঠে (305 mm-এ 25.4 mm), যা arctan(1 / 12) = 4.76° কোণ।

নৌচালনা ও জরিপ

জরিপকারীরা উন্নতি কোণ বা অবনতি কোণ মাপেন এবং তা উচ্চতা বা দূরত্বে রূপান্তর করেন। একটি টাওয়ার থেকে 50 m (164 ft) দূরে দাঁড়িয়ে 32° উন্নতি কোণ পেলে টাওয়ারটি চোখের স্তর থেকে 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) উঁচু।

ট্রাভার্স রিডাকশন প্রতিটি জরিপ অংশকে সাইন ও কোসাইন দিয়ে উত্তর-দক্ষিণ ও পূর্ব-পশ্চিম উপাংশে ভাগ করে, তারপর সেগুলি যোগ করে। পাইলট ও নাবিকরা একটি দিক ও দূরত্বকে অক্ষাংশ ও দ্রাঘিমাংশের পরিবর্তনে রূপান্তর করতে হুবহু এই পদ্ধতিই ব্যবহার করেন।

DIY ও গৃহ সংস্কার

যখন কর্ণ গুরুত্বপূর্ণ, তখন ঘরোয়া প্রকল্পে সমকোণী ত্রিভুজ কাজে আসে। আয়তক্ষেত্রের কর্ণ দুটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ, তাই 40 in বাই 30 in (101.6 cm বাই 76.2 cm) খোলা অংশের কর্ণ √(1600 + 900) = 50 in (127 cm)।

সেই কর্ণকে তার জোড়া কর্ণের সঙ্গে মিলিয়ে দেখা হল কোনো ফ্রেম, ডেক বা টাইলস বসানো মেঝে সমকোণী কিনা তা নিশ্চিত করার দ্রুততম উপায়। সমান কর্ণ মানে সমকোণী কোণা। সমকোণী ত্রিভুজ টিভির দেয়াল মাউন্ট, বাগানের বেডের ঠেকনা ও মাইটার করা ট্রিমের কাটার কোণের মাপ ঠিক করতেও কাজে লাগে।

প্রশ্ন

সচরাচর জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন

সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুকে কী বলে?

সমকোণী ত্রিভুজের দীর্ঘতম বাহুকে অতিভুজ বলে। অতিভুজ 90° কোণের বিপরীতে থাকে এবং একে বাহু c নামে চিহ্নিত করা হয়। এর দৈর্ঘ্য দুটি বাহু থেকে c = √(a² + b²) হিসেবে পাওয়া যায়, ফলে প্রতিটি সমকোণী ত্রিভুজেই এটি বাহু a ও বাহু b উভয়ের চেয়ে দীর্ঘ।

সমকোণী ত্রিভুজের কয়টি প্রতিসাম্য রেখা থাকে?

সমকোণী ত্রিভুজ সমদ্বিবাহু হলে তার 1টি প্রতিসাম্য রেখা থাকে, আর অন্য যেকোনো ক্ষেত্রে 0টি প্রতিসাম্য রেখা থাকে। সমদ্বিবাহু ক্ষেত্রটি হল 45-45-90 ত্রিভুজ, যেখানে অতিভুজ ছাড়া বাকি দুটি বাহু সমান দৈর্ঘ্যের এবং প্রতিসাম্য রেখাটি সমকোণ থেকে অতিভুজের মধ্যবিন্দু পর্যন্ত যায়। 3-4-5 এর মতো বিষমবাহু সমকোণী ত্রিভুজের কোনো প্রতিসাম্য রেখা নেই।

সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ কীভাবে বের করব?

অতিভুজ বের করতে দুটি বাহুর বর্গের সমষ্টির বর্গমূল নিন: c = √(a² + b²)। 3 ও 4 বাহুর ক্ষেত্রে, c = √(9 + 16) = √25 = 5। দুটি বাহুর বদলে একটি বাহু ও একটি সূক্ষ্মকোণ জানা থাকলে c = a / sin(α) অথবা c = b / cos(α) ব্যবহার করুন।

একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু কি সমান হতে পারে?

হ্যাঁ, একটি সমকোণী ত্রিভুজের দুটি বাহু সমান হতে পারে। অতিভুজ ছাড়া বাকি দুটি বাহু সমান হতে পারে, যা 45-45-90 সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ তৈরি করে, যার অতিভুজ a√2 এবং যার দুটি সূক্ষ্মকোণই 45°। তবে তিনটি বাহুই সমান হতে পারে না, কারণ সমান বাহু হলে তিনটি কোণকেই 60° হতে হয়, অথচ সমকোণী ত্রিভুজে একটি কোণ 90° হওয়া চাই।

সব সমকোণী ত্রিভুজ কি সদৃশ?

না, সব সমকোণী ত্রিভুজ সদৃশ নয়। দুটি সমকোণী ত্রিভুজ কেবল তখনই সদৃশ যখন তাদের সূক্ষ্মকোণগুলি মিলে যায়, অথবা সমতুল্যভাবে যখন দুটি অনুরূপ বাহুর অনুপাত একই হয়। 30-60-90 ত্রিভুজ ও 45-45-90 ত্রিভুজ উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ এবং সদৃশ নয়, কারণ তাদের বাহুর অনুপাত 1:√3:2 ও 1:1:√2 আলাদা।