Podstawy

Czym jest trójkąt prostokątny?

Trójkąt prostokątny to trójkąt, którego jeden kąt wewnętrzny wynosi dokładnie 90°. Kąt 90° jest kątem prostym, a bok leżący naprzeciw niego to przeciwprostokątna, najdłuższy z trzech boków.

Trójkąt prostokątny ma 3 boki i 3 kąty, nazwane według konwencji, którą stosują ten kalkulator i większość podręczników:

  • Bok a i bok b to przyprostokątne, czyli dwa boki niebędące przeciwprostokątną, które spotykają się w kącie prostym.
  • Bok c to przeciwprostokątna, bok leżący naprzeciw kąta C.
  • Kąt A leży naprzeciw boku a, kąt B leży naprzeciw boku b, a kąt C ma 90°.

Wiele źródeł oznacza dwa kąty ostre jako α (alfa) i β (beta), a θ (theta) stosuje dla kąta, o którym akurat mowa. Kąt A i α oznaczają tę samą wielkość, więc wzór zapisany z α działa bez zmian z kątem A.

Rysunek 1: Budowa trójkąta prostokątnego

a b c h α β B A C
Przyprostokątne a i b spotykają się w kącie prostym C. Przeciwprostokątna c leży naprzeciw tego kąta prostego. Wysokość h opada z C prostopadle na c.

W każdym trójkącie prostokątnym obowiązują dwie zasady:

  • Dwa kąty ostre są dopełniające, więc kąt A + kąt B = 90°. Trzy kąty sumują się do 180°, a kąt C zajmuje już 90° z tej sumy.
  • Trzy boki spełniają twierdzenie Pitagorasa, a² + b² = c². Zależność działa też w drugą stronę: trójkąt, w którym kwadrat najdłuższego boku równa się sumie kwadratów dwóch pozostałych, jest prostokątny.

Trójkąt prostokątny jest różnoboczny, gdy wszystkie trzy boki mają różne długości, i równoramienny, gdy obie przyprostokątne są równe, co wymusza oba kąty ostre równe 45°. Żaden trójkąt prostokątny nie jest równoboczny, ponieważ równe boki wymagają trzech kątów 60°.

Trójkąt prostokątny, którego wszystkie trzy boki są liczbami całkowitymi, jest trójkątem pitagorejskim, a trzy długości tworzą trójkę pitagorejską, na przykład 3, 4, 5 lub 5, 12, 13.

Wysokość h biegnie z wierzchołka kąta prostego prostopadle do przeciwprostokątnej. Wysokość dzieli wyjściowy trójkąt na 2 mniejsze trójkąty, podobne do siebie nawzajem i do trójkąta, z którego powstały.

Trójkąty prostokątne są podstawą trygonometrii. Sinus, cosinus, tangens i cotangens są zdefiniowane jako stosunki długości boków trójkąta prostokątnego, dlatego kalkulator boków i kątów trójkąta prostokątnego służy też do obliczania funkcji trygonometrycznych.

Korzystanie z narzędzia

Jak korzystać z kalkulatora trójkąta prostokątnego

  1. Wybierz zakładkę. Rozwiąż trójkąt obsługuje każdą kombinację danych, Twierdzenie Pitagorasa ogranicza pola do trzech boków, a Trójkąty szczególne skaluje trójkąt 30-60-90 lub 45-45-90 na podstawie jednego wymiaru.
  2. Wpisz pierwszą znaną wartość w odpowiednie pole: bok a, bok b, bok c, kąt A, kąt B lub pole.
  3. Wpisz drugą znaną wartość. Diagram przerysowuje się w skali, a wszystkie pozostałe pola wypełniają się od razu.
  4. Odczytaj wyniki: brakujące długości boków, oba kąty ostre, pole, obwód, wysokość, promień okręgu wpisanego i promień okręgu opisanego.
  5. Przeciągnij dowolny fioletowy uchwyt na diagramie, aby zmienić kształt trójkąta, lub naciskaj klawisze strzałek, aby zmieniać go o jeden krok. Ustaw liczbę miejsc po przecinku na 0, 2, 4 lub 6.

Kalkulator przyjmuje 6 kombinacji danych:

  • dwie przyprostokątne: bok a i bok b
  • jedna przyprostokątna i przeciwprostokątna: bok a i bok c lub bok b i bok c
  • jedna przyprostokątna i kąt ostry: bok a i kąt A lub bok b i kąt B
  • przeciwprostokątna i kąt ostry: bok c i kąt A lub bok c i kąt B
  • jedna przyprostokątna i pole
  • przeciwprostokątna i pole

Dwa kąty to jedyna para, którą kalkulator odrzuca. Kąt A i kąt B ustalają kształt trójkąta, ale nic nie mówią o jego wielkości, więc spełnia je nieskończenie wiele trójkątów.

Jednostki wybierasz sam. Kalkulator nie zależy od jednostek: wpisz 5 i odczytaj 5, w calach, centymetrach, stopach lub metrach, o ile wszystkie długości są w tej samej jednostce. Przeciwprostokątna 13 ft (3.96 m) i przyprostokątna 5 ft (1.52 m) dają drugą przyprostokątną 12 ft (3.66 m). Kąty podawane są w stopniach. Aby zamienić je na radiany, pomnóż przez π/180: 45° to π/4 rad, 60° to π/3 rad, a 90° to π/2 rad.

Długości boków

Jak obliczyć brakujący bok trójkąta prostokątnego

Aby obliczyć brakujący bok trójkąta prostokątnego, zastosuj twierdzenie Pitagorasa, gdy znasz dwa boki, lub funkcję trygonometryczną, gdy znasz jeden bok i jeden kąt ostry. Istnieją 3 punkty wyjścia i każdy ma własny wzór.

Obliczanie przeciwprostokątnej z dwóch boków

Aby obliczyć przeciwprostokątną z dwóch przyprostokątnych, dodaj kwadraty przyprostokątnych i wyciągnij pierwiastek kwadratowy.

c = √(a² + b²)

Ten wzór to twierdzenie Pitagorasa przekształcone względem c. Podniesienie przyprostokątnej do kwadratu daje pole kwadratu zbudowanego na tej przyprostokątnej, a dwa mniejsze kwadraty razem równają się kwadratowi zbudowanemu na przeciwprostokątnej.

Rysunek 2: Twierdzenie Pitagorasa jako pola

a² = 9 b² = 16 c² = 25 a = 3 b = 4 c = 5
Na każdym boku trójkąta 3-4-5 zbudowano kwadrat. Dwa mniejsze kwadraty mają 9 i 16 jednostek kwadratowych, co razem daje 25 jednostek kwadratowych największego kwadratu.

Przykład rozwiązany

Przyprostokątna 3 in (7.62 cm) i przyprostokątna 4 in (10.16 cm) dają przeciwprostokątną 5 in (12.7 cm).

c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in

Obliczanie przyprostokątnej z przeciwprostokątnej i jednego boku

Aby obliczyć przyprostokątną z przeciwprostokątnej i drugiej przyprostokątnej, odejmij kwadrat znanej przyprostokątnej od kwadratu przeciwprostokątnej i wyciągnij pierwiastek kwadratowy.

a = √(c² - b²)b = √(c² - a²)

Przykład rozwiązany

Przeciwprostokątna 13 cm (5.12 in) i przyprostokątna 5 cm (1.97 in) dają drugą przyprostokątną 12 cm (4.72 in).

b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm

Przeciwprostokątna musi być dłuższa od każdej z przyprostokątnych. Wartość c mniejsza lub równa znanej przyprostokątnej daje liczbę ujemną pod pierwiastkiem, a kalkulator zgłasza sprzeczność zamiast zwracać wynik.

Obliczanie boku z kąta

Aby obliczyć bok z kąta i jednego znanego boku, wybierz funkcję trygonometryczną, która łączy te dwie wielkości. Istnieje 6 wzorów, a właściwy zależy od tego, który bok znasz.

a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α)

Przykład rozwiązany

Przeciwprostokątna 10 m (32.81 ft) i α = 30° dają bezpośrednio obie przyprostokątne.

a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m

Twierdzenie sinusów prowadzi do tych samych wyników. W każdym trójkącie a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), a w trójkącie prostokątnym sin(C) = sin(90°) = 1, co sprowadza twierdzenie sinusów do c = a / sin(A). Trygonometria trójkąta prostokątnego to skrót, a nie osobny system.

Jeśli zamiast kąta znasz pole i jedną przyprostokątną, podziel podwojone pole przez znaną przyprostokątną. Trójkąt prostokątny to trójkąt różnoboczny, w którym jedna przyprostokątna pełni rolę podstawy, a druga wysokości, więc wzór na pole trójkąta upraszcza się do pole = a × b / 2, a b = 2 × pole / a.

Kąty

Jak obliczyć kąty trójkąta prostokątnego

Aby obliczyć kąty trójkąta prostokątnego, zastosuj funkcję cyklometryczną do stosunku dwóch znanych boków. Kąt C ma stałe 90°, więc jedno obliczenie rozstrzyga sprawę: drugi kąt ostry jest dopełnieniem pierwszego.

Znając β: α = 90° - βZnając α: β = 90° - α

Wybór funkcji zależy od tego, które dwa boki znasz. Trzy podstawowe stosunki są nazwane względem kąta, którego szukasz, i to właśnie oznacza SOHCAHTOA: sinus to przyprostokątna naprzeciw przez przeciwprostokątną, cosinus to przyprostokątna przyległa przez przeciwprostokątną, tangens to przyprostokątna naprzeciw przez przyległą.

Rysunek 3: Nazwy boków względem kąta

naprzeciw (a) przyległa (b) przeciwprostokątna (c) θ
Ten sam bok zmienia nazwę zależnie od rozpatrywanego kąta. Względem θ bok a leży naprzeciw, bok b jest przyległy, a bok c pozostaje przeciwprostokątną.

Obliczanie kąta za pomocą sinusa

Aby obliczyć kąt z boku leżącego naprzeciw i przeciwprostokątnej, podziel bok naprzeciw przez przeciwprostokątną i zastosuj arcus sinus (arcsin).

sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c)

Przykład rozwiązany

Bok a równy 5 i przeciwprostokątna c równa 13 dają kąt α równy 22.62°.

sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

Obliczanie kąta za pomocą cosinusa

Aby obliczyć kąt z boku przyległego i przeciwprostokątnej, podziel bok przyległy przez przeciwprostokątną i zastosuj arcus cosinus (arccos).

cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c)

Przykład rozwiązany

Bok b równy 12 i przeciwprostokątna c równa 13 dają ten sam kąt α równy 22.62°.

cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62°

Obliczanie kąta za pomocą tangensa

Aby obliczyć kąt z dwóch przyprostokątnych, podziel przyprostokątną naprzeciw przez przyprostokątną przyległą i zastosuj arcus tangens (arctan). Tangens jest właściwym wyborem, gdy przeciwprostokątna jest nieznana, ponieważ korzysta z dwóch boków niebędących przeciwprostokątną.

tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b)

Przykład rozwiązany

Przyprostokątne 5 i 12 dają kąt α równy 22.62° i kąt β równy 67.38°.

tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38°

Arcus sinus, arcus cosinus, arcus tangens i arcus cotangens zwracają ten sam kąt dla tego samego trójkąta. Wybierz funkcję, dla której masz już oba boki, a kalkulator potwierdzi wartość pozostałymi stosunkami. Szczegółową zasadę wyboru opisuje SOHCAHTOA w pigułce, a samą metodę wyznaczania kąta przedstawia obliczanie kąta za pomocą funkcji cyklometrycznych.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów standardowych

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów, które spotkasz najczęściej.

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów, które spotkasz najczęściej.
Kąt sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

Pełne rozwiązania

Jak rozwiązać trójkąt prostokątny

Aby rozwiązać trójkąt prostokątny, wyznacz wszystkie 6 wielkości (3 boki i 3 kąty) z 2 znanych wartości. Kąt C jest już znany i wynosi 90°, co zostawia 5 niewiadomych i 2 wskazówki.

Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego z dwóch boków

Aby rozwiązać trójkąt prostokątny z dwóch boków, wykonaj po kolei trzy kroki.

  1. Oblicz trzeci bok z twierdzenia Pitagorasa.
  2. Oblicz kąt A za pomocą funkcji cyklometrycznej dwóch znanych boków.
  3. Oblicz kąt B jako 90° minus kąt A.

Przykład rozwiązany

Przeciwprostokątna 13 in (33.02 cm) i przyprostokątna a równa 5 in (12.7 cm) pozwalają rozwiązać trójkąt w całości:

b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38°

Trójkąt ma boki 5, 12, 13 i kąty 22.62°, 67.38° i 90°.

Rozwiązywanie trójkąta prostokątnego z jednego boku i jednego kąta

Aby rozwiązać trójkąt prostokątny z jednego boku i jednego kąta ostrego, najpierw oblicz drugi kąt, a potem użyj funkcji trygonometrycznej dla każdego brakującego boku.

  1. Odejmij znany kąt ostry od 90°, aby otrzymać drugi kąt ostry.
  2. Pomnóż lub podziel znany bok przez sinus, cosinus lub tangens, aby otrzymać każdy brakujący bok.
  3. Sprawdź wynik za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Przykład rozwiązany

Przeciwprostokątna 10 m (32.81 ft) i kąt α równy 30° pozwalają rozwiązać trójkąt w całości:

β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 msprawdzenie: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10²

Czy można rozwiązać trójkąt prostokątny, znając tylko jeden bok?

Nie, sam jeden bok nie wystarczy do rozwiązania trójkąta prostokątnego. Pojedyncza długość ustala skalę trójkąta, ale pozostawia kształt otwarty, więc ten bok ma nieskończenie wiele trójkątów prostokątnych. Połącz bok z jednym z kątów ostrych, a trójkąt da się rozwiązać na 6 sposobów:

  1. Pomnóż przeciwprostokątną przez sin(θ), aby otrzymać długość boku leżącego naprzeciw kąta.
  2. Pomnóż przeciwprostokątną przez cos(θ), aby otrzymać bok przyległy do kąta.
  3. Podziel przyległy bok niebędący przeciwprostokątną przez cos(θ), aby otrzymać przeciwprostokątną.
  4. Pomnóż bok przyległy przez tan(θ), aby otrzymać bok leżący naprzeciw kąta.
  5. Podziel bok leżący naprzeciw przez sin(θ), aby otrzymać przeciwprostokątną.
  6. Podziel bok leżący naprzeciw przez tan(θ), aby otrzymać bok przyległy do kąta.

Jeden bok i pole również tworzą wystarczającą parę. Podaj oba kalkulatorowi, a druga przyprostokątna wyniknie z pole = a × b / 2, a przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa.

Wielkości pochodne

Wymiary trójkąta prostokątnego

Rozwiązany trójkąt prostokątny daje 5 wielkości pochodnych poza bokami i kątami: pole, obwód, wysokość, promień okręgu wpisanego i promień okręgu opisanego. Kalkulator podaje wszystkie 5 obok długości boków.

Pole trójkąta prostokątnego

Aby obliczyć pole trójkąta prostokątnego, pomnóż obie przyprostokątne i podziel przez 2. Przyprostokątne są prostopadłe, więc jedna służy za podstawę, a druga za wysokość.

area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2

Trójkąt o przyprostokątnych 6 cm (2.36 in) i 8 cm (3.15 in) ma pole 24 cm² (3.72 in²). Druga postać wzoru traktuje przeciwprostokątną jako podstawę, a wysokość opuszczoną na nią jako wysokość, i daje identyczny wynik.

Obwód trójkąta prostokątnego

Aby obliczyć obwód trójkąta prostokątnego, dodaj długości trzech boków.

P = a + b + c

Trójkąt 3-4-5 mierzony w stopach ma obwód 12 ft (3.66 m). Jeśli znasz tylko dwie przyprostokątne, najpierw oblicz przeciwprostokątną, ponieważ obwód wymaga wszystkich trzech boków.

Wysokość trójkąta prostokątnego

Wysokość trójkąta prostokątnego to prostopadła odległość od wierzchołka kąta prostego do przeciwprostokątnej. Pomnóż przyprostokątne i podziel przez przeciwprostokątną.

h = (a × b) / c

Wysokość dzieli przeciwprostokątną na dwa odcinki, p i q, i tworzy dwa mniejsze trójkąty podobne do wyjściowego. Z tego podobieństwa wynikają trzy zależności średniej geometrycznej, omówione w całości w przewodniku po twierdzeniu o wysokości trójkąta prostokątnego.

h² = p × qa² = p × cb² = q × c

Rysunek 4: Wysokość i jej dwa odcinki

a b h q p
Wysokość h przecina przeciwprostokątną pod kątem prostym i dzieli ją na odcinki p i q. Każdy mniejszy trójkąt jest podobny do wyjściowego.

Promień okręgu wpisanego i opisanego

Promień okręgu wpisanego r to promień największego okręgu mieszczącego się wewnątrz trójkąta, a promień okręgu opisanego R to promień okręgu przechodzącego przez wszystkie trzy wierzchołki.

r = (a + b - c) / 2R = c / 2

Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym jest zawsze równy połowie przeciwprostokątnej, ponieważ przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego. Trójkąt 3-4-5 ma promień okręgu wpisanego 1 i promień okręgu opisanego 2.5.

Pole
6
Obwód
12
Wysokość
2.4
Promień okręgu wpisanego
1
Promień okręgu opisanego
2.5

Pięć wielkości pochodnych trójkąta prostokątnego 3-4-5.

Ściąga

Szczególne trójkąty prostokątne

Warto zapamiętać 4 trójkąty prostokątne: trójkąt 30-60-90, trójkąt 45-45-90, trójkąt 3-4-5 i trójkąt 5-12-13. Pierwsze dwa mają stałe zestawy kątów i stałe stosunki boków, a dwa ostatnie to trójki pitagorejskie o bokach całkowitych. Przewodnik po szczególnych trójkątach prostokątnych porównuje dwa pierwsze obok siebie.

Trójkąt 30-60-90

Trójkąt 30-60-90 ma boki w stosunku 1 : √3 : 2. Najkrótszy bok leży naprzeciw kąta 30°, środkowy bok naprzeciw kąta 60°, a przeciwprostokątna naprzeciw kąta prostego i jest dokładnie dwa razy dłuższa od najkrótszego boku.

Rysunek 5: Trójkąt 30-60-90

1 √3 2 30° 60°
Połowa trójkąta równobocznego. Jeden wymiar wyznacza wszystkie trzy boki, ponieważ stosunek 1 : √3 : 2 nigdy się nie zmienia.

Znajomość jednego boku trójkąta 30-60-90 wyznacza dwa pozostałe. Krótsza przyprostokątna 5 cm (1.97 in) daje dłuższą przyprostokątną 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) i przeciwprostokątną 10 cm (3.94 in). Ten trójkąt służy do obliczania funkcji trygonometrycznych wielokrotności π/6 i to z niego pochodzą dokładne wartości sin(30°) = 1/2 i cos(30°) = √3/2.

Trójkąt 45-45-90

Trójkąt 45-45-90 ma boki w stosunku 1 : 1 : √2. Obie przyprostokątne mają tę samą długość, co czyni go trójkątem prostokątnym równoramiennym i daje mu 1 oś symetrii.

Rysunek 6: Trójkąt 45-45-90

1 1 √2 45° 45°
Trójkąt prostokątny równoramienny. Równe przyprostokątne wymuszają oba kąty ostre równe 45°, a przeciwprostokątna ma długość a√2.

W trójkącie 45-45-90 przyprostokątna 5 in (12.7 cm) daje przeciwprostokątną 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). Przeciwprostokątna 5 działa w drugą stronę: podziel przez √2, aby otrzymać przyprostokątne po 3.54. Trójkąt 45-45-90 służy do obliczania funkcji trygonometrycznych wielokrotności π/4, gdzie sin(45°) i cos(45°) są równe √2/2.

Trójkąt prostokątny 3-4-5

Trójkąt 3-4-5 to najmniejsza trójka pitagorejska, o kątach ostrych 36.87° i 53.13°. Całkowite boki czynią go standardowym sposobem sprawdzania kąta prostego na budowie, a metodę tę opisuje reguła trójkąta 3-4-5.

Rysunek 7: Trójkąt 3-4-5 na siatce jednostkowej

3 4 5 36.87° 53.13°
Trzy jednostki w górę, cztery jednostki w poprzek, pięć jednostek wzdłuż przeciwprostokątnej. Każda wielokrotność 3-4-5, na przykład 6-8-10 czy 30-40-50, również jest trójkątem prostokątnym.

Trójkąt prostokątny 5-12-13

Trójkąt 5-12-13 to druga co do wielkości najmniejsza trójka pitagorejska, o kątach ostrych 22.62° i 67.38°. Jego boki spełniają 25 + 144 = 169, a wąski kształt przydaje się przy wytyczaniu tam, gdzie trójkąt 3-4-5 jest za szeroki.

Rysunek 8: Trójkąt 5-12-13

5 12 13 22.62° 67.38°
Długa, wąska trójka pitagorejska z kątem 22.62° na dalszym końcu przeciwprostokątnej.

Skalowanie trójki zachowuje kąt prosty. Pomnóż 3-4-5 przez 10, aby otrzymać 30-40-50, lub 5-12-13 przez 2, aby otrzymać 10-24-26, a oba pozostaną trójkątami prostokątnymi o tych samych kątach ostrych. Pełniejsza lista znajduje się w przewodniku po trójkach pitagorejskich.

Tabela popularnych trójkątów prostokątnych z ich bokami, kątami ostrymi i polami.
Trójkąt Przyprostokątna a Przyprostokątna b Przeciwprostokątna Kąt A Kąt B Pole Pole względne
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

Każda wielokrotność trójki pitagorejskiej sama jest trójką - pomnóż 3-4-5 przez dziesięć, a 30-40-50 nadal będzie idealnym trójkątem prostokątnym.

Zastosowania

Praktyczne zastosowania trójkątów prostokątnych

Geometria trójkąta prostokątnego pojawia się wszędzie tam, gdzie wysokość, odległość lub kąt trzeba wyznaczyć bez bezpośredniego pomiaru. Istnieją 4 dziedziny, które korzystają z niej na co dzień: budownictwo, inżynieria, nawigacja i prace domowe. Rozwiązane przypadki zebrano w zadaniach tekstowych z trójkątem prostokątnym.

Rysunek 9: Trzy codzienne trójkąty prostokątne

wznios poziom Spadek dachu wysokość podstawa drabina Kąt drabiny wznios poziom rampa Nachylenie rampy
Spadek dachu, ustawienie drabiny i nachylenie rampy sprowadzają się każde do jednego trójkąta prostokątnego z dwiema znanymi wartościami.

Budownictwo i architektura

Budowlańcy używają trójkątów prostokątnych do wyznaczania kątów prostych, ustalania spadku dachu i docinania policzków schodów. Metoda 3-4-5 pozwala wyznaczyć kąt prosty bez kątownika: odmierz 3 ft (0.91 m) wzdłuż jednej krawędzi, 4 ft (1.22 m) wzdłuż drugiej i koryguj, aż przekątna wyniesie dokładnie 5 ft (1.52 m).

Spadek dachu to stosunek wzniosu do poziomego wysięgu dachu, a długość krokwi to przeciwprostokątna tego trójkąta. Wznios 6 in na każde 12 in poziomu (152 mm na 305 mm) daje krokiew √(6² + 12²) = 13.42 in na stopę poziomu i kąt spadku arctan(6 / 12) = 26.57°.

Inżynieria i fizyka

Inżynierowie rozkładają siły i prędkości na prostopadłe składowe za pomocą trójkątów prostokątnych. Siła 200 N przyłożona pod kątem 35° nad poziomem rozkłada się na składową poziomą 200 × cos(35°) = 163.8 N i składową pionową 200 × sin(35°) = 114.7 N.

Obliczenia nachylenia działają według tego samego schematu. Rampa dla wózków o nachyleniu 1:12 wznosi się o 1 in na każde 12 in długości poziomej (25.4 mm na 305 mm), co odpowiada kątowi arctan(1 / 12) = 4.76°.

Nawigacja i geodezja

Geodeci mierzą kąt wzniesienia lub obniżenia i przeliczają go na wysokość lub odległość. Stojąc 50 m (164 ft) od wieży przy kącie wzniesienia 32°, otrzymujemy wysokość wieży 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) ponad poziomem oczu.

Obliczanie ciągu poligonowego rozkłada każdy odcinek pomiaru na składowe północ-południe i wschód-zachód za pomocą sinusa i cosinusa, a następnie je sumuje. Piloci i żeglarze stosują identyczną metodę, aby zamienić kurs i odległość na zmianę szerokości i długości geograficznej.

Majsterkowanie i prace domowe

Domowe projekty sięgają po trójkąty prostokątne, gdy liczy się przekątna. Przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną dwóch trójkątów prostokątnych, więc otwór 40 in na 30 in (101.6 cm na 76.2 cm) ma przekątną √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).

Porównanie tej przekątnej z drugą to najszybszy sposób, aby potwierdzić, że rama, taras lub płytki na podłodze są pod kątem prostym. Równe przekątne oznaczają kąty proste. Trójkąty prostokątne pomagają też dobrać uchwyt ścienny do telewizora, usztywnienie grządki i kąt cięcia listwy wykończeniowej na ukos.

Pytania

Najczęściej zadawane pytania

Jak nazywa się najdłuższy bok trójkąta prostokątnego?

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywa się przeciwprostokątną. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta 90° i jest oznaczana jako bok c. Jej długość wynika z obu przyprostokątnych jako c = √(a² + b²), przez co w każdym trójkącie prostokątnym jest dłuższa niż bok a i bok b.

Ile osi symetrii ma trójkąt prostokątny?

Trójkąt prostokątny ma 1 oś symetrii, gdy jest równoramienny, i 0 osi symetrii w każdym innym przypadku. Przypadek równoramienny to trójkąt 45-45-90, w którym obie przyprostokątne mają tę samą długość, a oś symetrii biegnie od kąta prostego do środka przeciwprostokątnej. Różnoboczny trójkąt prostokątny, taki jak 3-4-5, nie ma żadnej osi symetrii.

Jak obliczyć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego?

Aby obliczyć przeciwprostokątną, wyciągnij pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów obu przyprostokątnych: c = √(a² + b²). Dla przyprostokątnych 3 i 4 otrzymujemy c = √(9 + 16) = √25 = 5. Jeśli zamiast dwóch boków znasz przyprostokątną i kąt ostry, użyj c = a / sin(α) lub c = b / cos(α).

Czy trójkąt prostokątny może mieć dwa równe boki?

Tak, trójkąt prostokątny może mieć dwa równe boki. Obie przyprostokątne mogą być równe, co daje równoramienny trójkąt prostokątny 45-45-90 o przeciwprostokątnej a√2 i dwóch kątach ostrych po 45°. Wszystkie trzy boki nie mogą być równe, ponieważ równe boki wymuszają trzy kąty po 60°, a trójkąt prostokątny potrzebuje kąta 90°.

Czy wszystkie trójkąty prostokątne są podobne?

Nie, nie wszystkie trójkąty prostokątne są podobne. Dwa trójkąty prostokątne są podobne tylko wtedy, gdy ich kąty ostre są zgodne, czyli równoważnie gdy stosunek dwóch odpowiadających sobie boków jest taki sam. Trójkąt 30-60-90 i trójkąt 45-45-90 są oba prostokątne i nie są podobne, ponieważ stosunki ich boków 1:√3:2 i 1:1:√2 się różnią.