Przejdź do treści głównej

Interaktywny solver geometryczny

Kalkulator trójkąta prostokątnego

Dwie wartości na wejściu. Cały trójkąt na wyjściu.

Podaj dowolne dwie znane wartości, a kalkulator rozwiąże za Ciebie cały trójkąt prostokątny - obie przyprostokątne, przeciwprostokątną, oba kąty ostre, pole, obwód i wysokość. Diagram przerysowuje się w skali podczas pisania, a sam trójkąt możesz przeciągać, aby zobaczyć, jak reaguje każdy wymiar.

Żywy diagram

Rysowany w skali
Żywy diagram a b c 90°

Przeciągnij dowolny fioletowy uchwyt, aby zmienić kształt trójkąta. Użyj strzałek do precyzyjnych, jednokrokowych korekt.

Wypróbuj klasyczny trójkąt

Twoje wymiary

jednostki
jednostki
jednostki
°
°
jednostki²
Ustalony na 90°

Wyniki pochodne

Obwód
- jednostki
Pole
- jednostki²
Wysokość h
- jednostki
Promień okręgu wpisanego r
- jednostki
Promień okręgu opisanego R
- jednostki

Jak korzystać z kalkulatora

  1. 1 Wpisz to, co znasz Podaj dowolne dwie wartości - dwa boki, bok i kąt ostry albo bok i pole.
  2. 2 Odczytaj pełne rozwiązanie Każdy pozostały bok, kąt i wielkość pochodna uzupełnia się natychmiast, zaokrąglone do wybranej przez Ciebie dokładności.
  3. 3 Przeciągaj i eksperymentuj Chwyć uchwyt na diagramie, aby zmienić kształt trójkąta, i obserwuj, jak liczby zmieniają się w czasie rzeczywistym.

Każda wartość jest obliczana w Twojej przeglądarce. Nic z tego, co wpiszesz, nie jest wysyłane, rejestrowane ani przechowywane.

Wszystko, co kalkulator obliczy za Ciebie

Wzory stojące za wynikami

Trójkąt prostokątny jest określony przez zaledwie dwie niezależne wielkości. Gdy tylko je podasz, wszystkie pozostałe wynikają z twierdzenia Pitagorasa i podstawowych zależności trygonometrycznych. Oto dokładnie to, co dzieje się za diagramem.

Twierdzenie Pitagorasa

c² = a² + b²

Kwadrat przeciwprostokątnej równa się sumie kwadratów obu przyprostokątnych. Po przekształceniu wzór daje dowolny brakujący bok: c = √(a² + b²), a = √(c² − b²), b = √(c² − a²).

Zależności trygonometryczne

sin A = a / c · cos A = b / c · tan A = a / b

Sinus to stosunek przyprostokątnej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej, cosinus - przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej, tangens - przyprostokątnej naprzeciw do przyległej. Funkcje odwrotne (asin, acos, atan) pozwalają wyznaczyć kąt z dwóch boków.

Kąty dopełniające

A + B = 90°

Oba kąty ostre zawsze sumują się do 90°, ponieważ trzeci kąt jest kątem prostym. Znając jeden kąt ostry, natychmiast znasz drugi.

Pole i obwód

Area = (a · b) / 2 · P = a + b + c

Przyprostokątne są prostopadłe, więc pełnią rolę podstawy i wysokości. Obwód to po prostu suma wszystkich trzech boków.

Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną

h = (a · b) / c

Wysokość poprowadzona z kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli trójkąt na dwa mniejsze trójkąty podobne do wyjściowego.

Promień okręgu wpisanego i opisanego

r = (a + b − c) / 2 · R = c / 2

Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym ma zawsze przeciwprostokątną jako średnicę - to bezpośredni wniosek z twierdzenia Talesa.

Metoda

Jak działa Kalkulator trójkąta prostokątnego

Solver nigdy nie zgaduje. Wybiera dokładnie tę zależność, która pasuje do podanej przez Ciebie pary wartości, a następnie wyprowadza z wyniku całą resztę.

  1. 1

    Śledzi Twoje dwa ostatnie wpisy

    Trójkąt prostokątny ma dokładnie dwa stopnie swobody. Kalkulator zapamiętuje dwa ostatnio używane pola i traktuje je jako parę znanych wartości, dzięki czemu Twój najnowszy wpis jest zawsze uwzględniany.

  2. 2

    Dobiera właściwą zależność

    Dwie przyprostokątne trafiają do twierdzenia Pitagorasa. Bok i kąt - do sinusa, cosinusa lub tangensa. Bok i pole - do zależności podstawa–wysokość. Każdy przypadek ma rozwiązanie w postaci zamkniętej: żadnych iteracji, żadnych przybliżeń.

  3. 3

    Sprawdza dane przed narysowaniem

    Przeciwprostokątna krótsza od przyprostokątnej, długość niedodatnia lub kąt ostry poza zakresem 0°–90° zostają odrzucone z czytelnym komunikatem, zamiast dawać mylący wynik.

  4. 4

    Przerysowuje diagram w skali

    Diagram SVG jest odtwarzany z rozwiązanego trójkąta przy każdej zmianie, z zachowaniem rzeczywistych proporcji, więc trójkąt 3-4-5 naprawdę wygląda jak trójkąt 3-4-5.

Wszystko działa lokalnie w Twojej przeglądarce. Żaden wpisany wymiar nigdy nie jest wysyłany.

Dane referencyjne

Popularne trójkąty prostokątne w skrócie

Trójki pitagorejskie i dwa trójkąty szczególne, które pojawiają się niemal na każdym egzaminie z geometrii. Pasek pokazuje pole każdego trójkąta w odniesieniu do największej pozycji w tabeli.

Tabela popularnych trójkątów prostokątnych z ich bokami, kątami ostrymi i polami.
Trójkąt Przyprostokątna a Przyprostokątna b Przeciwprostokątna Kąt A Kąt B Pole Pole względne
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

Każda wielokrotność trójki pitagorejskiej sama jest trójką - pomnóż 3-4-5 przez dziesięć, a 30-40-50 nadal będzie idealnym trójkątem prostokątnym.

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów standardowych

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów, które spotkasz najczęściej.

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów, które spotkasz najczęściej.
Kąt sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

Pytania

Najczęściej zadawane pytania

To, o co ludzie pytają najczęściej przy rozwiązywaniu trójkątów prostokątnych.

Jak nazywa się najdłuższy bok trójkąta prostokątnego?

Najdłuższy bok trójkąta prostokątnego nazywa się przeciwprostokątną. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta 90° i jest oznaczana jako bok c. Jej długość wynika z obu przyprostokątnych jako c = √(a² + b²), przez co w każdym trójkącie prostokątnym jest dłuższa niż bok a i bok b.

Ile osi symetrii ma trójkąt prostokątny?

Trójkąt prostokątny ma 1 oś symetrii, gdy jest równoramienny, i 0 osi symetrii w każdym innym przypadku. Przypadek równoramienny to trójkąt 45-45-90, w którym obie przyprostokątne mają tę samą długość, a oś symetrii biegnie od kąta prostego do środka przeciwprostokątnej. Różnoboczny trójkąt prostokątny, taki jak 3-4-5, nie ma żadnej osi symetrii.

Jak obliczyć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego?

Aby obliczyć przeciwprostokątną, wyciągnij pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów obu przyprostokątnych: c = √(a² + b²). Dla przyprostokątnych 3 i 4 otrzymujemy c = √(9 + 16) = √25 = 5. Jeśli zamiast dwóch boków znasz przyprostokątną i kąt ostry, użyj c = a / sin(α) lub c = b / cos(α).

Czy trójkąt prostokątny może mieć dwa równe boki?

Tak, trójkąt prostokątny może mieć dwa równe boki. Obie przyprostokątne mogą być równe, co daje równoramienny trójkąt prostokątny 45-45-90 o przeciwprostokątnej a√2 i dwóch kątach ostrych po 45°. Wszystkie trzy boki nie mogą być równe, ponieważ równe boki wymuszają trzy kąty po 60°, a trójkąt prostokątny potrzebuje kąta 90°.

Czy wszystkie trójkąty prostokątne są podobne?

Nie, nie wszystkie trójkąty prostokątne są podobne. Dwa trójkąty prostokątne są podobne tylko wtedy, gdy ich kąty ostre są zgodne, czyli równoważnie gdy stosunek dwóch odpowiadających sobie boków jest taki sam. Trójkąt 30-60-90 i trójkąt 45-45-90 są oba prostokątne i nie są podobne, ponieważ stosunki ich boków 1:√3:2 i 1:1:√2 się różnią.

Dwie wartości na wejściu. Cały trójkąt na wyjściu.

Rozwiąż dowolny trójkąt prostokątny w mgnieniu oka. Podaj dwie znane wartości i otrzymaj wszystkie boki, kąty, pole, obwód i wysokość wraz z żywym, przeciąganym diagramem.

Otwórz kalkulator