직각삼각형 계산기

직각삼각형은 내각 하나가 정확히 90°인 삼각형입니다. 90°인 각이 직각이며, 이 각과 마주 보는 변이 빗변으로 세 변 중 가장 깁니다.

직각삼각형에는 변 3개와 각 3개가 있으며, 이 계산기와 대부분의 교과서가 따르는 다음 규칙으로 이름을 붙입니다:

• 변 a와 변 b는 직각을 낀 변입니다. 빗변이 아닌 두 변으로, 직각에서 만납니다.
• 변 c는 빗변입니다. 각 C와 마주 보는 변입니다.
• 각 A는 변 a와, 각 B는 변 b와 마주 보며, 각 C는 90°입니다.

많은 자료에서는 두 예각을 α(알파)와 β(베타)로 쓰고, 다루고 있는 각을 θ(세타)로 씁니다. 각 A와 α는 같은 각을 가리키므로 α로 쓴 공식은 각 A에 그대로 적용됩니다.

모든 직각삼각형에서 다음 두 규칙이 성립합니다:

• 두 예각은 서로 여각입니다. 즉 각 A + 각 B = 90°입니다. 세 각의 합은 180°이고 그중 90°를 각 C가 이미 차지하기 때문입니다.
• 세 변은 피타고라스 정리를 만족합니다. 즉 a² + b² = c²입니다. 이 관계는 거꾸로도 성립합니다: 가장 긴 변의 제곱이 나머지 두 변의 제곱의 합과 같은 삼각형은 직각삼각형입니다.

세 변의 길이가 모두 다르면 부등변 직각삼각형이고, 직각을 낀 두 변이 같으면 이등변 직각삼각형이며 이때 두 예각은 모두 45°가 됩니다. 정삼각형인 직각삼각형은 없습니다. 세 변이 같으려면 세 각이 모두 60°여야 하기 때문입니다.

세 변이 모두 정수인 직각삼각형을 피타고라스 삼각형이라 하며, 세 길이는 3, 4, 5나 5, 12, 13 같은 피타고라스 수를 이룹니다.

높이 h는 직각인 꼭짓점에서 빗변에 수직으로 내린 선분입니다. 높이는 원래 삼각형을 작은 삼각형 2개로 나누며, 두 삼각형은 서로 닮음이고 원래 삼각형과도 닮음입니다.

직각삼각형은 삼각법의 기초입니다. 사인, 코사인, 탄젠트, 코탄젠트는 직각삼각형의 변의 길이의 비로 정의되므로, 직각삼각형의 변과 각을 구하는 계산기는 삼각함수 값을 구하는 도구로도 쓸 수 있습니다.

1. 탭을 선택합니다. 삼각형 풀기는 모든 입력 조합을 처리하고, 피타고라스 정리는 입력란을 세 변으로 좁히며, 특수 삼각형은 측정값 하나로 30-60-90 또는 45-45-90 삼각형을 구합니다.
2. 알고 있는 첫 번째 값을 해당 칸에 입력합니다: 변 a, 변 b, 변 c, 각 A, 각 B 또는 넓이입니다.
3. 알고 있는 두 번째 값을 입력합니다. 도형이 실제 비율로 다시 그려지고 나머지 칸이 한꺼번에 채워집니다.
4. 결과를 확인합니다: 모르던 변의 길이, 두 예각, 넓이, 둘레, 높이, 내접원 반지름, 외접원 반지름입니다.
5. 도형의 보라색 손잡이 중 하나를 드래그해 삼각형 모양을 바꾸거나, 방향키를 눌러 한 단계씩 조정합니다. 소수점 자리는 0, 2, 4, 6자리 중에서 설정합니다.

계산기가 받는 입력 조합은 6가지입니다:

• 직각을 낀 두 변: 변 a와 변 b
• 직각을 낀 한 변과 빗변: 변 a와 변 c, 또는 변 b와 변 c
• 직각을 낀 한 변과 예각: 변 a와 각 A, 또는 변 b와 각 B
• 빗변과 예각: 변 c와 각 A, 또는 변 c와 각 B
• 직각을 낀 한 변과 넓이
• 빗변과 넓이

계산기가 받지 않는 유일한 조합은 두 각입니다. 각 A와 각 B는 삼각형의 모양은 정하지만 크기에 대해서는 알려 주지 않으므로, 조건을 만족하는 삼각형이 무수히 많습니다.

직각삼각형의 모르는 변을 구하려면, 두 변을 알 때는 피타고라스 정리를, 한 변과 한 예각을 알 때는 삼각비를 사용합니다. 출발점은 3가지이며 각각 공식이 있습니다.

두 변으로 빗변 구하기

직각을 낀 두 변으로 빗변을 구하려면, 두 변의 제곱을 더한 뒤 제곱근을 구합니다.

이 공식은 피타고라스 정리를 c에 대해 정리한 것입니다. 한 변을 제곱하면 그 변 위에 세운 정사각형의 넓이가 되고, 작은 두 정사각형의 넓이를 합하면 빗변 위에 세운 정사각형의 넓이와 같습니다.

빗변과 한 변으로 직각을 낀 변 구하기

빗변과 다른 한 변으로 직각을 낀 변을 구하려면, 빗변의 제곱에서 알고 있는 변의 제곱을 뺀 뒤 제곱근을 구합니다.

빗변은 직각을 낀 두 변보다 길어야 합니다. c가 알고 있는 변보다 작거나 같으면 제곱근 안이 음수가 되므로, 계산기는 값을 내놓지 않고 모순을 알려 줍니다.

각으로 변 구하기

각과 알고 있는 한 변으로 다른 변을 구하려면, 둘을 연결하는 삼각비를 고릅니다. 공식은 6가지이며, 어떤 공식을 쓸지는 알고 있는 변에 따라 정해집니다.

사인 법칙으로도 같은 답이 나옵니다. 모든 삼각형에서 a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)가 성립하고, 직각삼각형에서는 sin(C) = sin(90°) = 1이므로 사인 법칙은 c = a / sin(A)로 간단해집니다. 직각삼각형의 삼각법은 지름길일 뿐, 별개의 체계가 아닙니다.

각 대신 넓이와 직각을 낀 한 변을 알 때는, 넓이의 2배를 알고 있는 변으로 나눕니다. 직각삼각형은 한 변이 밑변, 다른 한 변이 높이 역할을 하는 부등변삼각형이므로 삼각형 넓이 공식은 area = a × b / 2로 간단해지고, b = 2 × area / a가 됩니다.

직각삼각형의 각을 구하려면, 알고 있는 두 변의 비에 역삼각함수를 적용합니다. 각 C는 90°로 정해져 있으므로 한 번의 계산으로 삼각형이 결정됩니다: 두 번째 예각은 첫 번째 예각의 여각입니다.

어떤 함수를 쓸지는 알고 있는 두 변에 따라 달라집니다. 세 가지 기본 비는 구하려는 각을 기준으로 이름이 붙으며, 이것이 SOHCAHTOA의 의미입니다: 사인은 대변 나누기 빗변, 코사인은 인접변 나누기 빗변, 탄젠트는 대변 나누기 인접변입니다.

사인으로 각 구하기

대변과 빗변으로 각을 구하려면, 대변을 빗변으로 나눈 뒤 역사인(arcsin)을 적용합니다.

코사인으로 각 구하기

인접변과 빗변으로 각을 구하려면, 인접변을 빗변으로 나눈 뒤 역코사인(arccos)을 적용합니다.

탄젠트로 각 구하기

직각을 낀 두 변으로 각을 구하려면, 대변을 인접변으로 나눈 뒤 역탄젠트(arctan)를 적용합니다. 탄젠트는 빗변이 아닌 두 변을 사용하므로, 빗변을 모를 때 쓰는 비입니다.

역사인, 역코사인, 역탄젠트, 역코탄젠트는 같은 삼각형에 대해 모두 같은 각을 돌려줍니다. 이미 알고 있는 두 변에 맞는 함수를 고르면, 계산기가 다른 비와 대조해 값을 확인해 줍니다. 고르는 규칙을 자세히 알고 싶다면 SOHCAHTOA 설명을, 각을 구하는 방법 자체는 역삼각함수로 각 구하기를 참고하세요.

직각삼각형을 풀려면, 알고 있는 값 2개로 측정값 6개(변 3개와 각 3개)를 모두 구합니다. 각 C는 이미 90°로 알고 있으므로 모르는 값 5개와 단서 2개가 남습니다.

두 변으로 직각삼각형 풀기

두 변으로 직각삼각형을 풀려면, 다음 세 단계를 순서대로 진행합니다.

1. 피타고라스 정리로 세 번째 변을 구합니다.
2. 알고 있는 두 변에 역삼각함수를 적용해 각 A를 구합니다.
3. 90°에서 각 A를 빼서 각 B를 구합니다.

한 변과 한 각으로 직각삼각형 풀기

한 변과 한 예각으로 직각삼각형을 풀려면, 먼저 두 번째 각을 구한 다음 삼각비로 모르는 변을 하나씩 구합니다.

1. 90°에서 알고 있는 예각을 빼서 다른 예각을 구합니다.
2. 알고 있는 변에 사인, 코사인 또는 탄젠트를 곱하거나 나누어 모르는 변을 각각 구합니다.
3. 피타고라스 정리로 결과를 검산합니다.

한 변만으로 직각삼각형을 풀 수 있나요?

아니요, 한 변만으로는 직각삼각형을 풀 수 없습니다. 길이 하나는 삼각형의 크기를 정하지만 모양은 정하지 않으므로, 그 변을 가진 직각삼각형은 무수히 많습니다. 그 변에 직각이 아닌 각 하나를 더하면, 다음 6가지 방법으로 삼각형을 풀 수 있습니다:

1. 빗변에 sin(θ)를 곱하면 각의 대변 길이가 나옵니다.
2. 빗변에 cos(θ)를 곱하면 각의 인접변이 나옵니다.
3. 빗변이 아닌 인접변을 cos(θ)로 나누면 빗변이 나옵니다.
4. 인접변에 tan(θ)를 곱하면 각의 대변이 나옵니다.
5. 대변을 sin(θ)로 나누면 빗변이 나옵니다.
6. 대변을 tan(θ)로 나누면 각의 인접변이 나옵니다.

한 변과 넓이도 짝을 이루어 쓸 수 있습니다. 두 값을 계산기에 넣으면 area = a × b / 2에서 다른 한 변이 나오고, 피타고라스 정리로 빗변이 이어서 나옵니다.

풀린 직각삼각형에서는 변과 각 외에 5가지 측정값이 나옵니다: 넓이, 둘레, 높이, 내접원 반지름, 외접원 반지름입니다. 계산기는 변의 길이와 함께 5가지를 모두 보여 줍니다.

직각삼각형의 넓이

직각삼각형의 넓이를 구하려면, 직각을 낀 두 변을 곱한 뒤 2로 나눕니다. 두 변은 서로 수직이므로 하나는 밑변, 다른 하나는 높이가 됩니다.

직각을 낀 두 변이 6 cm (2.36 in)와 8 cm (3.15 in)인 삼각형의 넓이는 24 cm² (3.72 in²)입니다. 두 번째 식은 빗변을 밑변으로, 높이 h를 높이로 사용하며 같은 값이 나옵니다.

직각삼각형의 둘레

직각삼각형의 둘레를 구하려면, 세 변의 길이를 더합니다.

피트로 잰 3-4-5 삼각형의 둘레는 12 ft (3.66 m)입니다. 둘레에는 세 변이 모두 필요하므로, 직각을 낀 두 변만 알 때는 빗변을 먼저 계산합니다.

직각삼각형의 높이

직각삼각형의 높이는 직각인 꼭짓점에서 빗변까지의 수직 거리입니다. 직각을 낀 두 변을 곱한 뒤 빗변으로 나눕니다.

높이는 빗변을 두 선분 p와 q로 나누고, 원래 삼각형과 닮은 작은 삼각형 2개를 만듭니다. 이 닮음에서 세 가지 기하평균 관계가 나오며, 자세한 내용은 직각삼각형 높이 정리 가이드에서 설명합니다.

내접원 반지름과 외접원 반지름

내접원 반지름 r은 삼각형 안에 들어가는 가장 큰 원의 반지름이고, 외접원 반지름 R은 세 꼭짓점을 모두 지나는 원의 반지름입니다.

빗변은 외접원의 지름이므로, 직각삼각형의 외접원 반지름은 언제나 빗변의 절반입니다. 3-4-5 삼각형의 내접원 반지름은 1, 외접원 반지름은 2.5입니다.

넓이

6

둘레

12

높이

2.4

내접원 반지름

1

외접원 반지름

2.5

3-4-5 직각삼각형에서 유도되는 다섯 가지 측정값.

외워 둘 만한 직각삼각형은 4가지입니다: 30-60-90 삼각형, 45-45-90 삼각형, 3-4-5 삼각형, 5-12-13 삼각형입니다. 앞의 두 삼각형은 각과 변의 비가 정해져 있고, 뒤의 두 삼각형은 변이 정수인 피타고라스 수입니다. 특수 직각삼각형 가이드에서 앞의 두 삼각형을 나란히 비교합니다.

30-60-90 삼각형

30-60-90 삼각형의 변의 비는 1 : √3 : 2입니다. 가장 짧은 변은 30° 각과, 중간 변은 60° 각과 마주 보며, 빗변은 직각과 마주 보고 길이는 정확히 가장 짧은 변의 2배입니다.

30-60-90 삼각형은 한 변만 알면 나머지 두 변이 정해집니다. 짧은 변이 5 cm (1.97 in)이면 긴 변은 5√3 = 8.66 cm (3.41 in), 빗변은 10 cm (3.94 in)입니다. 이 삼각형은 π/6의 배수에 대한 삼각함수 값을 구하는 데 쓰이며, sin(30°) = 1/2과 cos(30°) = √3/2라는 정확한 값이 여기서 나옵니다.

45-45-90 삼각형

45-45-90 삼각형의 변의 비는 1 : 1 : √2입니다. 직각을 낀 두 변의 길이가 같으므로 직각이등변삼각형이며, 대칭축이 1개 있습니다.

45-45-90 삼각형에서 직각을 낀 변이 5 in (12.7 cm)이면 빗변은 5√2 = 7.07 in (17.96 cm)입니다. 빗변이 5이면 반대로 계산합니다: √2로 나누면 직각을 낀 변은 각각 3.54입니다. 45-45-90 삼각형은 π/4의 배수에 대한 삼각함수 값을 구하는 데 쓰이며, sin(45°)와 cos(45°)는 모두 √2/2입니다.

3-4-5 직각삼각형

3-4-5 삼각형은 가장 작은 피타고라스 수로, 예각은 36.87°와 53.13°입니다. 변이 정수라서 건설 현장에서 모서리가 직각인지 확인하는 표준 방법으로 쓰이며, 이 방법은 3-4-5 삼각형 법칙에서 다룹니다.

5-12-13 직각삼각형

5-12-13 삼각형은 두 번째로 작은 피타고라스 수로, 예각은 22.62°와 67.38°입니다. 세 변은 25 + 144 = 169를 만족하며, 좁은 모양이라 3-4-5 삼각형이 공간에 비해 너무 넓을 때 먹매김 작업에 알맞습니다.

피타고라스 수를 몇 배 해도 직각은 그대로 유지됩니다. 3-4-5에 10을 곱하면 30-40-50, 5-12-13에 2를 곱하면 10-24-26이 되며, 둘 다 같은 예각을 가진 직각삼각형으로 남습니다. 더 자세한 목록은 피타고라스 수 가이드에 있습니다.

직각삼각형의 기하는 높이, 거리, 각을 직접 재지 않고 구해야 하는 곳이라면 어디에나 등장합니다. 날마다 이를 활용하는 분야는 4가지입니다: 건설, 공학, 항해, 집수리입니다. 계산 사례는 직각삼각형 문장제에 모아 두었습니다.

건설과 건축

건설 기술자는 모서리를 직각으로 맞추고, 지붕 경사를 정하고, 계단 옆판을 재단할 때 직각삼각형을 사용합니다. 3-4-5 방법을 쓰면 직각자 없이도 틀을 직각으로 맞출 수 있습니다: 한쪽 모서리를 따라 3 ft (0.91 m), 다른 쪽을 따라 4 ft (1.22 m)를 잰 다음 대각선이 정확히 5 ft (1.52 m)가 될 때까지 조정합니다.

지붕 경사는 지붕의 수평 거리에 대한 높이차이며, 서까래 길이는 그 삼각형의 빗변입니다. 수평 거리 12 in마다 높이차가 6 in(305 mm마다 152 mm)이면 서까래는 수평 거리 1피트당 √(6² + 12²) = 13.42 in이고, 경사각은 arctan(6 / 12) = 26.57°입니다.

공학과 물리학

엔지니어는 직각삼각형을 이용해 힘과 속도를 서로 수직인 성분으로 분해합니다. 수평에서 위로 35° 방향으로 가한 200 N의 힘은 수평 성분 200 × cos(35°) = 163.8 N과 수직 성분 200 × sin(35°) = 114.7 N으로 분해됩니다.

기울기 계산도 같은 방식을 따릅니다. 1:12 경사로 만든 휠체어 경사로는 수평 거리 12 in마다 1 in(305 mm마다 25.4 mm)씩 올라가며, 각도는 arctan(1 / 12) = 4.76°입니다.

항해와 측량

측량사는 올려본각이나 내려본각을 재서 높이나 거리로 환산합니다. 탑에서 50 m (164 ft) 떨어진 곳에서 올려본각이 32°이면 탑은 눈높이보다 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) 높습니다.

트래버스 계산에서는 측량의 각 구간을 사인과 코사인으로 남북 성분과 동서 성분으로 나눈 뒤 합산합니다. 조종사와 항해사도 같은 방법으로 진행 방향과 거리를 위도와 경도의 변화로 환산합니다.

DIY와 집수리

집안 작업에서는 대각선이 중요할 때 직각삼각형이 쓰입니다. 직사각형의 대각선은 두 직각삼각형의 빗변이므로, 40 in × 30 in (101.6 cm × 76.2 cm) 크기의 개구부 대각선은 √(1600 + 900) = 50 in (127 cm)입니다.

틀, 데크, 타일 바닥이 직각인지 확인하는 가장 빠른 방법은 한 대각선을 다른 대각선과 비교하는 것입니다. 두 대각선이 같으면 모서리는 직각입니다. 직각삼각형은 TV 벽걸이 브래킷 크기, 화단 보강재, 연귀 맞춤 몰딩의 절단 각도를 정하는 데에도 쓰입니다.