Dik Üçgen Hesaplama

Dik üçgen, iç açılarından biri tam olarak 90° olan üçgendir. 90°'lik açı dik açıdır ve onun karşısındaki kenar, üç kenarın en uzunu olan hipotenüstür.

Bir dik üçgenin 3 kenarı ve 3 açısı vardır; bunlar bu hesaplayıcının ve çoğu ders kitabının ortak kullandığı bir kurala göre adlandırılır:

• a kenarı ve b kenarı dik kenarlardır, yani dik açıda birleşen, hipotenüs olmayan iki kenar.
• c kenarı hipotenüstür, yani C açısının karşısındaki kenar.
• A açısı a kenarının, B açısı b kenarının karşısındadır ve C açısı 90°'dir.

Birçok kaynak iki dar açıyı α (alfa) ve β (beta) olarak yazar ve üzerinde konuşulan açı için θ (teta) kullanır. A açısı ile α aynı ölçüyü adlandırır, bu yüzden α ile yazılmış bir formül A açısıyla da değişmeden çalışır.

Her dik üçgende iki kural geçerlidir:

• İki dar açı tümler açılardır, yani A açısı + B açısı = 90°. Üç açının toplamı 180°'dir ve C açısı bu toplamın 90°'sini zaten alır.
• Üç kenar Pisagor teoremini sağlar, yani a² + b² = c². Bu ilişki tersine de geçerlidir: en uzun kenarının karesi diğer iki kenarın kareleri toplamına eşit olan bir üçgen dik üçgendir.

Bir dik üçgen, üç kenarının uzunluğu da farklıysa çeşitkenar, iki dik kenarı eşitse ikizkenardır ve bu durum iki dar açıyı da 45° olmaya zorlar. Hiçbir dik üçgen eşkenar değildir, çünkü eşit kenarlar üç tane 60°'lik açı gerektirir.

Üç kenarı da tam sayı olan bir dik üçgen Pisagor üçgenidir ve üç uzunluk 3, 4, 5 veya 5, 12, 13 gibi bir Pisagor üçlüsü oluşturur.

h yüksekliği dik açı köşesinden hipotenüse dik olarak uzanır. Yükseklik orijinal üçgeni 2 küçük üçgene ayırır ve bunların her biri hem birbirine hem de geldikleri üçgene benzerdir.

Dik üçgenler trigonometrinin temelidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant, dik üçgen kenar uzunluklarının oranları olarak tanımlanır; bu yüzden bir dik üçgen kenar ve açı hesaplayıcısı aynı zamanda trigonometrik fonksiyonları hesaplamak için bir araçtır.

1. Bir sekme seçin. Üçgeni çöz tüm girdi kombinasyonlarını işler, Pisagor teoremi alanları üç kenarla sınırlar ve Özel üçgenler bir 30-60-90 veya 45-45-90 üçgenini tek bir ölçüden ölçeklendirir.
2. Bilinen ilk değeri kendi alanına yazın: a kenarı, b kenarı, c kenarı, A açısı, B açısı veya alan.
3. Bilinen ikinci değeri yazın. Şema ölçeğine uygun biçimde yeniden çizilir ve kalan tüm alanlar anında dolar.
4. Sonuçları okuyun: eksik kenar uzunlukları, iki dar açı, alan, çevre, yükseklik, iç teğet çember yarıçapı ve çevrel çember yarıçapı.
5. Üçgeni yeniden biçimlendirmek için şemadaki mor tutamaçlardan birini sürükleyin veya tek adımlık değişiklikler için ok tuşlarına basın. Ondalık basamak ayarını 0, 2, 4 veya 6 basamağa getirin.

Hesaplayıcının kabul ettiği 6 girdi kombinasyonu vardır:

• iki dik kenar: a kenarı ve b kenarı
• bir dik kenar ve hipotenüs: a kenarı ve c kenarı ya da b kenarı ve c kenarı
• bir dik kenar ve bir dar açı: a kenarı ve A açısı ya da b kenarı ve B açısı
• hipotenüs ve bir dar açı: c kenarı ve A açısı ya da c kenarı ve B açısı
• bir dik kenar ve alan
• hipotenüs ve alan

Hesaplayıcının reddettiği tek çift iki açıdır. A açısı ve B açısı üçgenin şeklini belirler ama boyutu hakkında hiçbir şey söylemez, bu yüzden onları sağlayan sonsuz sayıda üçgen vardır.

Dik üçgende eksik kenarı bulmak için iki kenar biliniyorsa Pisagor teoremini, bir kenar ve bir dar açı biliniyorsa bir trigonometrik oranı uygulayın. 3 başlangıç noktası vardır ve her birinin kendi formülü vardır.

İki Kenarla Hipotenüsü Bulma

İki dik kenardan hipotenüsü bulmak için dik kenarların karelerini toplayın ve karekökünü alın.

Bu formül, c için yeniden düzenlenmiş Pisagor teoremidir. Bir dik kenarın karesini almak, o kenar üzerine kurulan bir karenin alanını verir ve küçük iki kare birlikte hipotenüs üzerine kurulan kareye eşittir.

Hipotenüs ve Bir Kenarla Dik Kenarı Bulma

Hipotenüs ve diğer dik kenardan bir dik kenarı bulmak için bilinen dik kenarın karesini hipotenüsün karesinden çıkarın ve karekökünü alın.

Hipotenüs her iki dik kenardan da uzun olmalıdır. Bilinen bir dik kenardan küçük veya ona eşit bir c değeri karekökün içinde negatif bir sayı üretir ve hesaplayıcı bir sonuç döndürmek yerine bu çelişkiyi bildirir.

Bir Açıyla Kenar Bulma

Bir açı ve bilinen bir kenardan başka bir kenarı bulmak için ikisini birbirine bağlayan trigonometrik oranı seçin. 6 formül vardır ve doğru olanı elinizdeki kenara bağlıdır.

Sinüs teoremi de aynı sonuçlara ulaşır. Her üçgende a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) olur ve dik üçgende sin(C) = sin(90°) = 1 olduğundan sinüs teoremi c = a / sin(A) biçimine indirgenir. Dik üçgen trigonometrisi ayrı bir sistem değil, bir kısayoldur.

Açı yerine alan ve bir dik kenar biliniyorsa, alanın iki katını bilinen dik kenara bölün. Dik üçgen, bir dik kenarı taban, diğeri yükseklik görevi gören çeşitkenar bir üçgendir; bu yüzden üçgen alan formülü area = a × b / 2 biçimine sadeleşir ve b = 2 × area / a olur.

Dik üçgenin açılarını bulmak için bilinen iki kenarın oranına ters trigonometrik fonksiyon uygulayın. C açısı 90°'de sabittir, bu yüzden tek bir hesap üçgeni belirler: ikinci dar açı birincinin tümleridir.

Hangi fonksiyonun kullanılacağı hangi iki kenarı bildiğinize bağlıdır. Üç temel oran, çözdüğünüz açıya göre adlandırılır ve SOHCAHTOA'nın anlamı budur: sinüs karşı bölü hipotenüs, kosinüs komşu bölü hipotenüs, tanjant karşı bölü komşudur.

Sinüsle Açı Bulma

Karşı kenar ve hipotenüsten bir açıyı bulmak için karşı kenarı hipotenüse bölün ve ters sinüsünü (arcsin) alın.

Kosinüsle Açı Bulma

Komşu kenar ve hipotenüsten bir açıyı bulmak için komşu kenarı hipotenüse bölün ve ters kosinüsünü (arccos) alın.

Tanjantla Açı Bulma

İki dik kenardan bir açıyı bulmak için karşı dik kenarı komşu dik kenara bölün ve ters tanjantını (arctan) alın. Hipotenüs bilinmediğinde başvurulacak oran tanjanttır, çünkü hipotenüs olmayan iki kenarı kullanır.

Ters sinüs, ters kosinüs, ters tanjant ve ters kotanjant aynı üçgen için aynı açıyı verir. İki kenarını zaten bildiğiniz fonksiyonu seçin; hesaplayıcı değeri diğer oranlarla doğrular. Seçim kuralının ayrıntıları için SOHCAHTOA açıklaması yazısına, açı bulma yönteminin kendisi için ters trigonometriyle açı bulma yazısına bakın.

Bir dik üçgeni çözmek için 6 ölçünün tamamını (3 kenar ve 3 açı) bilinen 2 değerden hesaplayın. C açısı zaten 90° olarak bilinir; geriye 5 bilinmeyen ve 2 ipucu kalır.

İki Kenarla Dik Üçgen Çözme

Bir dik üçgeni iki kenardan çözmek için üç adımı sırayla uygulayın.

1. Üçüncü kenarı Pisagor teoremiyle bulun.
2. A açısını, bilinen iki kenarın ters trigonometrik fonksiyonuyla bulun.
3. B açısını 90° eksi A açısı olarak bulun.

Bir Kenar ve Bir Açıyla Dik Üçgen Çözme

Bir dik üçgeni bir kenar ve bir dar açıdan çözmek için önce ikinci açıyı bulun, ardından her eksik kenar için bir trigonometrik oran kullanın.

1. Diğer dar açıyı elde etmek için bilinen dar açıyı 90°'den çıkarın.
2. Her eksik kenara ulaşmak için bilinen kenarı sinüs, kosinüs veya tanjantla çarpın ya da bölün.
3. Sonucu Pisagor teoremiyle kontrol edin.

Dik Üçgen Yalnızca Bir Kenarla Çözülebilir mi?

Hayır, tek bir kenar bir dik üçgeni çözmeye yetmez. Tek bir uzunluk üçgenin ölçeğini belirler ama şeklini açık bırakır, bu yüzden sonsuz sayıda dik üçgen o kenarı paylaşır. Kenarı dik olmayan açılardan biriyle eşleştirin; üçgen 6 yoldan çözülebilir hale gelir:

1. Açının karşısındaki kenarın uzunluğunu bulmak için hipotenüsü sin(θ) ile çarpın.
2. Açıya komşu kenarı bulmak için hipotenüsü cos(θ) ile çarpın.
3. Hipotenüsü bulmak için hipotenüs olmayan komşu kenarı cos(θ) ile bölün.
4. Açının karşısındaki kenarı bulmak için komşu kenarı tan(θ) ile çarpın.
5. Hipotenüsü bulmak için karşı kenarı sin(θ) ile bölün.
6. Açıya komşu kenarı bulmak için karşı kenarı tan(θ) ile bölün.

Bir kenar ve alan da bir çift olarak işe yarar. İkisini hesaplayıcıya girin; ikinci dik kenar area = a × b / 2 formülünden çıkar ve hipotenüs Pisagor teoreminden gelir.

Çözülmüş bir dik üçgen, kenarları ve açılarının ötesinde 5 türetilmiş ölçü verir: alan, çevre, yükseklik, iç teğet çember yarıçapı ve çevrel çember yarıçapı. Hesaplayıcı bu 5 ölçünün hepsini kenar uzunluklarıyla birlikte gösterir.

Dik Üçgenin Alanı

Bir dik üçgenin alanını bulmak için iki dik kenarı çarpın ve 2'ye bölün. Dik kenarlar birbirine diktir, bu yüzden biri taban, diğeri yükseklik görevi görür.

Dik kenarları 6 cm (2.36 in) ve 8 cm (3.15 in) olan bir üçgen 24 cm² (3.72 in²) alan kaplar. İkinci biçim hipotenüsü taban, yüksekliği de yükseklik olarak kullanır ve aynı sonucu verir.

Dik Üçgenin Çevresi

Bir dik üçgenin çevresini bulmak için üç kenar uzunluğunu toplayın.

Fit cinsinden ölçülen bir 3-4-5 üçgeninin çevresi 12 ft (3.66 m)'dir. Yalnızca iki dik kenar biliniyorsa önce hipotenüsü hesaplayın, çünkü çevre için üç kenarın hepsi gerekir.

Dik Üçgenin Yüksekliği

Bir dik üçgenin yüksekliği, dik açı köşesinden hipotenüse olan dik uzaklıktır. Dik kenarları çarpın ve hipotenüse bölün.

Yükseklik hipotenüsü p ve q adlı iki parçaya ayırır ve orijinale benzer iki küçük üçgen oluşturur. Bu benzerlikten üç geometrik ortalama ilişkisi çıkar; bunlar dik üçgen yükseklik teoremi rehberinde ayrıntılı olarak anlatılır.

İç Teğet ve Çevrel Çember Yarıçapı

İç teğet çember yarıçapı r, üçgenin içine sığan en büyük çemberin yarıçapıdır; çevrel çember yarıçapı R ise üç köşeden geçen çemberin yarıçapıdır.

Bir dik üçgenin çevrel çember yarıçapı her zaman hipotenüsün yarısıdır, çünkü hipotenüs çevrel çemberin bir çapıdır. Bir 3-4-5 üçgeninin iç teğet çember yarıçapı 1, çevrel çember yarıçapı 2.5'tir.

Alan

6

Çevre

12

Yükseklik

2.4

İç teğet çember yarıçapı

1

Çevrel çember yarıçapı

2.5

3-4-5 dik üçgeninin türetilen beş ölçüsü.

Ezberlemeye değer 4 dik üçgen vardır: 30-60-90 üçgeni, 45-45-90 üçgeni, 3-4-5 üçgeni ve 5-12-13 üçgeni. İlk ikisinin açı takımları ve kenar oranları sabittir; son ikisi ise kenarları tam sayı olan Pisagor üçlüleridir. Özel dik üçgenler rehberi ilk ikisini yan yana karşılaştırır.

30-60-90 Üçgeni

30-60-90 üçgeninin kenarları 1 : √3 : 2 oranındadır. En kısa kenar 30°'lik açının, orta kenar 60°'lik açının karşısındadır ve hipotenüs dik açının karşısında, en kısa kenarın tam iki katı uzunluktadır.

Bir 30-60-90 üçgeninin tek bir kenarını bilmek diğer ikisini belirler. 5 cm (1.97 in) uzunluğundaki kısa dik kenar, 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) uzunluğunda uzun dik kenar ve 10 cm (3.94 in) uzunluğunda hipotenüs verir. Bu üçgen π/6'nın katları için trigonometrik fonksiyonları hesaplamakta kullanılır; sin(30°) = 1/2 ve cos(30°) = √3/2 kesin değerleri buradan gelir.

45-45-90 Üçgeni

45-45-90 üçgeninin kenarları 1 : 1 : √2 oranındadır. İki dik kenarın uzunluğu eşittir; bu da onu ikizkenar dik üçgen yapar ve ona 1 simetri ekseni kazandırır.

Bir 45-45-90 üçgeninde 5 in (12.7 cm) uzunluğundaki dik kenar 5√2 = 7.07 in (17.96 cm) uzunluğunda bir hipotenüs verir. 5 uzunluğundaki bir hipotenüs ters yönde çalışır: her biri 3.54 olan dik kenarlar için √2'ye bölün. 45-45-90 üçgeni π/4'ün katları için trigonometrik fonksiyonları hesaplar; burada sin(45°) ve cos(45°) ikisi de √2/2'ye eşittir.

3-4-5 Dik Üçgeni

3-4-5 üçgeni en küçük Pisagor üçlüsüdür ve dar açıları 36.87° ile 53.13°'tür. Tam sayı kenarları onu şantiyede köşenin gönyesini kontrol etmenin standart yolu yapar; bu yöntem 3-4-5 üçgen kuralı yazısında anlatılır.

5-12-13 Dik Üçgeni

5-12-13 üçgeni en küçük ikinci Pisagor üçlüsüdür ve dar açıları 22.62° ile 67.38°'dir. Kenarları 25 + 144 = 169 eşitliğini sağlar ve dar şekli, 3-4-5 üçgeninin alana göre fazla geniş kaldığı yerleşim işlerine uygundur.

Bir üçlüyü ölçeklendirmek dik açıyı korur. 30-40-50 için 3-4-5'i 10 ile, 10-24-26 için 5-12-13'ü 2 ile çarpın; ikisi de aynı dar açılara sahip dik üçgen olarak kalır. Daha kapsamlı bir başvuru listesi Pisagor üçlüleri rehberinde yer alır.

Dik üçgen geometrisi, bir yüksekliğin, mesafenin veya açının doğrudan ölçülmeden hesaplanması gereken her yerde karşımıza çıkar. Buna her gün dayanan 4 alan vardır: inşaat, mühendislik, navigasyon ve ev tadilatı. Çözümlü örnekler dik üçgen problemleri yazısında toplanmıştır.

İnşaat ve Mimari

İnşaatçılar köşeleri gönyeye getirmek, çatı eğimini ayarlamak ve merdiven taşıyıcılarını kesmek için dik üçgenleri kullanır. 3-4-5 yöntemi bir çerçeveyi gönye olmadan dik hale getirir: bir kenar boyunca 3 ft (0.91 m), diğer kenar boyunca 4 ft (1.22 m) ölçün ve köşegen tam olarak 5 ft (1.52 m) gösterene kadar ayarlayın.

Çatı eğimi, bir çatının yükselişinin yatay mesafesine oranıdır ve mertek uzunluğu bu üçgenin hipotenüsüdür. 12 in yatay mesafe başına 6 in yükseliş (305 mm başına 152 mm), yatay mesafenin her fiti için √(6² + 12²) = 13.42 in uzunluğunda bir mertek ve arctan(6 / 12) = 26.57° eğim açısı verir.

Mühendislik ve Fizik

Mühendisler kuvvetleri ve hızları dik üçgenler yardımıyla birbirine dik bileşenlere ayırır. Yatayın 35° üzerinde uygulanan 200 N'luk bir kuvvet, 200 × cos(35°) = 163.8 N yatay bileşene ve 200 × sin(35°) = 114.7 N dikey bileşene ayrılır.

Eğim hesapları da aynı kalıbı izler. 1:12 eğimle yapılan bir tekerlekli sandalye rampası, her 12 in yatay mesafe için 1 in yükselir (305 mm başına 25.4 mm); bu da arctan(1 / 12) = 4.76° açısına karşılık gelir.

Navigasyon ve Haritacılık

Haritacılar bir yükselme veya alçalma açısı ölçer ve bunu bir yüksekliğe ya da mesafeye dönüştürür. 32°'lik yükselme açısıyla bir kuleden 50 m (164 ft) uzakta durmak, kuleyi göz hizasının 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) üzerine yerleştirir.

Poligon hesabı, her ölçüm kolunu sinüs ve kosinüsle kuzey-güney ve doğu-batı bileşenlerine ayırır, sonra bunları toplar. Pilotlar ve denizciler bir rotayı ve mesafeyi enlem ve boylam değişimine çevirmek için aynı yöntemi kullanır.

Kendin Yap ve Ev Tadilatı

Ev projeleri bir köşegen önem taşıdığında dik üçgenlere başvurur. Bir dikdörtgenin köşegeni iki dik üçgenin hipotenüsüdür, bu yüzden 40 in'e 30 in (101.6 cm'ye 76.2 cm) bir açıklığın köşegeni √(1600 + 900) = 50 in (127 cm)'dir.

Bu köşegeni karşı köşegenle karşılaştırmak, bir çerçevenin, bir terasın veya fayanslı bir zeminin gönyede olduğunu doğrulamanın en hızlı yoludur. Eşit köşegenler dik köşeler demektir. Dik üçgenler ayrıca bir TV duvar askısının, bir bahçe yatağı desteğinin ve gönyeli bir süpürgelik parçasının kesim açısının boyutlandırılmasında da kullanılır.