直角三角形計算機

直角三角形とは、内角の1つがちょうど 90° の三角形です。90° の角を直角といい、それと向かい合う辺が斜辺で、3辺のうち最も長い辺です。

直角三角形には3つの辺と3つの角があり、この計算機と多くの教科書に共通する次の規則で名前を付けます:

• 辺 a と辺 b は直角を挟む辺です。斜辺以外の2辺で、直角の位置で交わります。
• 辺 c は斜辺です。角 C と向かい合う辺です。
• 角 A は辺 a と、角 B は辺 b と向かい合い、角 C は 90° です。

多くの資料では2つの鋭角を α（アルファ）と β（ベータ）で表し、話題にしている角を θ（シータ）で表します。角 A と α は同じ角を指すため、α で書かれた公式はそのまま角 A に使えます。

どの直角三角形にも、次の2つの規則が成り立ちます:

• 2つの鋭角は互いに余角です。つまり角 A + 角 B = 90° です。3つの角の和は 180° で、そのうち 90° を角 C が占めているためです。
• 3辺は三平方の定理を満たします。つまり a² + b² = c² です。この関係は逆も成り立ちます: 最も長い辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しい三角形は、直角三角形です。

3辺の長さがすべて異なる直角三角形は不等辺三角形で、直角を挟む2辺が等しい場合は二等辺三角形になり、2つの鋭角はどちらも 45° に決まります。正三角形になる直角三角形はありません。3辺が等しいと3つの角がすべて 60° になるためです。

3辺がすべて整数である直角三角形をピタゴラス三角形といい、その3つの長さは 3, 4, 5 や 5, 12, 13 のようなピタゴラス数になります。

高さ h は、直角の頂点から斜辺に垂直に下ろした線分です。高さは元の三角形を2つの小さい三角形に分け、その2つは互いに相似で、元の三角形とも相似です。

直角三角形は三角法の土台です。正弦、余弦、正接、余接は直角三角形の辺の長さの比として定義されるため、直角三角形の辺と角を求める計算機は三角関数の値を求める道具にもなります。

1. タブを選びます。三角形を解くはすべての入力の組み合わせに対応し、三平方の定理は入力欄を3辺に絞り、特別な三角形は1つの測定値から 30-60-90 または 45-45-90 の三角形を求めます。
2. わかっている1つ目の値を対応する欄に入力します: 辺 a、辺 b、辺 c、角 A、角 B、または面積です。
3. わかっている2つ目の値を入力します。図が実寸比で描き直され、残りの欄がすべて一度に埋まります。
4. 結果を読み取ります: 不明だった辺の長さ、2つの鋭角、面積、周長、高さ、内接円半径、外接円半径です。
5. 図上の紫のハンドルのどちらかをドラッグして三角形の形を変えるか、矢印キーで1ステップずつ変更します。小数点以下の桁数は 0、2、4、6 桁から設定できます。

計算機が受け付ける入力の組み合わせは6通りです:

• 直角を挟む2辺: 辺 a と辺 b
• 直角を挟む1辺と斜辺: 辺 a と辺 c、または辺 b と辺 c
• 直角を挟む1辺と鋭角: 辺 a と角 A、または辺 b と角 B
• 斜辺と鋭角: 辺 c と角 A、または辺 c と角 B
• 直角を挟む1辺と面積
• 斜辺と面積

計算機が受け付けない唯一の組み合わせは、2つの角です。角 A と角 B は三角形の形を決めますが大きさについては何も示さないため、条件を満たす三角形は無数にあります。

直角三角形の不明な辺を求めるには、2辺がわかっている場合は三平方の定理を、1辺と1つの鋭角がわかっている場合は三角比を使います。出発点は3通りあり、それぞれに公式があります。

2辺から斜辺を求める

直角を挟む2辺から斜辺を求めるには、2辺の2乗を足して平方根をとります。

この公式は、三平方の定理を c について解いたものです。辺を2乗するとその辺を1辺とする正方形の面積になり、小さい2つの正方形の面積を合わせると斜辺上の正方形の面積に等しくなります。

斜辺と1辺から直角を挟む辺を求める

斜辺ともう1辺から直角を挟む辺を求めるには、斜辺の2乗からわかっている辺の2乗を引いて平方根をとります。

斜辺は、直角を挟むどちらの辺よりも長くなければなりません。c がわかっている辺以下だと平方根の中が負の数になるため、計算機は値を返さずに矛盾を知らせます。

角度から辺を求める

角度と1辺から別の辺を求めるには、その2つを結びつける三角比を選びます。公式は6通りあり、どれを使うかはわかっている辺によって決まります。

正弦定理を使っても同じ答えになります。どの三角形でも a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C) が成り立ち、直角三角形では sin(C) = sin(90°) = 1 なので、正弦定理は c = a / sin(A) に簡単になります。直角三角形の三角法は近道であり、別の体系ではありません。

角度の代わりに面積と直角を挟む1辺がわかっている場合は、面積の2倍をその辺で割ります。直角三角形は一方の辺が底辺、もう一方の辺が高さとなる不等辺三角形なので、三角形の面積の公式は area = a × b / 2 に簡単になり、b = 2 × area / a となります。

直角三角形の角度を求めるには、わかっている2辺の比に逆三角関数を使います。角 C は 90° に決まっているため、1回の計算で三角形が決まります: 2つ目の鋭角は1つ目の鋭角の余角です。

どの関数を使うかは、わかっている2辺によって決まります。3つの基本的な比は求めたい角を基準に名付けられており、これが SOHCAHTOA の意味です: 正弦は対辺÷斜辺、余弦は隣辺÷斜辺、正接は対辺÷隣辺です。

正弦を使って角度を求める

対辺と斜辺から角度を求めるには、対辺を斜辺で割り、逆正弦 (arcsin) をとります。

余弦を使って角度を求める

隣辺と斜辺から角度を求めるには、隣辺を斜辺で割り、逆余弦 (arccos) をとります。

正接を使って角度を求める

直角を挟む2辺から角度を求めるには、対辺を隣辺で割り、逆正接 (arctan) をとります。正接は斜辺以外の2辺を使うため、斜辺がわからないときに使う比です。

逆正弦、逆余弦、逆正接、逆余接は、同じ三角形に対してすべて同じ角度を返します。すでにわかっている2辺に合う関数を選べば、計算機が他の比と照らし合わせて値を確認します。選び方の詳細は SOHCAHTOA の解説を、角度の求め方そのものは逆三角関数で角度を求める方法をご覧ください。

直角三角形を解くとは、わかっている2つの値から6つの測定値（3辺と3つの角）をすべて求めることです。角 C は 90° とわかっているので、未知数は5つ、手がかりは2つです。

2辺から直角三角形を解く

2辺から直角三角形を解くには、次の3つの手順を順番に行います。

1. 三平方の定理で3つ目の辺を求めます。
2. わかっている2辺の逆三角関数で角 A を求めます。
3. 90° から角 A を引いて角 B を求めます。

1辺と1つの角から直角三角形を解く

1辺と1つの鋭角から直角三角形を解くには、まずもう1つの角を求め、次に三角比で不明な辺を1つずつ求めます。

1. 90° からわかっている鋭角を引き、もう1つの鋭角を求めます。
2. わかっている辺に正弦、余弦、正接を掛けるか割るかして、不明な辺をそれぞれ求めます。
3. 三平方の定理で結果を確認します。

1辺だけで直角三角形は解けるか

いいえ、1辺だけでは直角三角形は解けません。1つの長さは三角形の大きさを決めますが形は決まらないため、その辺を持つ直角三角形は無数にあります。その辺に直角以外の角を1つ組み合わせれば、次の6通りの方法で三角形が解けます:

1. 斜辺に sin(θ) を掛けると、角の対辺の長さが求まります。
2. 斜辺に cos(θ) を掛けると、角の隣辺が求まります。
3. 斜辺ではない隣辺を cos(θ) で割ると、斜辺が求まります。
4. 隣辺に tan(θ) を掛けると、角の対辺が求まります。
5. 対辺を sin(θ) で割ると、斜辺が求まります。
6. 対辺を tan(θ) で割ると、角の隣辺が求まります。

1辺と面積の組み合わせでも解けます。両方を計算機に入力すると、area = a × b / 2 からもう1辺が求まり、三平方の定理から斜辺が求まります。

解いた直角三角形からは、辺と角のほかに5つの測定値が導かれます: 面積、周長、高さ、内接円半径、外接円半径です。計算機は辺の長さとあわせて5つすべてを表示します。

直角三角形の面積

直角三角形の面積を求めるには、直角を挟む2辺を掛けて2で割ります。2辺は互いに垂直なので、一方が底辺、もう一方が高さになります。

直角を挟む辺が 6 cm (2.36 in) と 8 cm (3.15 in) の三角形の面積は 24 cm² (3.72 in²) です。2つ目の式は斜辺を底辺、高さ h を高さとして使うもので、同じ値になります。

直角三角形の周長

直角三角形の周長を求めるには、3辺の長さを足します。

フィートで測った 3-4-5 の三角形の周長は 12 ft (3.66 m) です。周長には3辺すべてが必要なため、直角を挟む2辺しかわからない場合は先に斜辺を計算します。

直角三角形の高さ

直角三角形の高さとは、直角の頂点から斜辺までの垂直距離です。直角を挟む2辺を掛けて、斜辺で割ります。

高さは斜辺を p と q の2つの部分に分け、元の三角形と相似な2つの小さい三角形を作ります。この相似から3つの相乗平均の関係が導かれ、詳しくは直角三角形の高さの定理の解説で説明しています。

内接円半径と外接円半径

内接円半径 r は三角形の内側に収まる最大の円の半径で、外接円半径 R は3つの頂点をすべて通る円の半径です。

斜辺は外接円の直径になるため、直角三角形の外接円半径は常に斜辺の半分です。3-4-5 の三角形の内接円半径は 1、外接円半径は 2.5 です。

面積

6

周長

12

高さ

2.4

内接円半径

1

外接円半径

2.5

3-4-5 の直角三角形から導かれる5つの測定値。

覚えておく価値のある直角三角形は4つあります: 30-60-90 の三角形、45-45-90 の三角形、3-4-5 の三角形、5-12-13 の三角形です。最初の2つは角度と辺の比が決まっており、後の2つは辺が整数のピタゴラス数です。特別な直角三角形のガイドでは、最初の2つを並べて比較しています。

30-60-90 の三角形

30-60-90 の三角形の辺の比は 1 : √3 : 2 です。最も短い辺は 30° の角と、中間の辺は 60° の角と向かい合い、斜辺は直角と向かい合ってちょうど最も短い辺の2倍の長さになります。

30-60-90 の三角形は、1辺がわかれば残りの2辺が決まります。短い辺が 5 cm (1.97 in) なら、長い辺は 5√3 = 8.66 cm (3.41 in)、斜辺は 10 cm (3.94 in) です。この三角形は π/6 の倍数の三角関数の値を求めるのに使われ、sin(30°) = 1/2 や cos(30°) = √3/2 という正確な値はここから得られます。

45-45-90 の三角形

45-45-90 の三角形の辺の比は 1 : 1 : √2 です。直角を挟む2辺の長さが等しいため直角二等辺三角形であり、対称軸を1本持ちます。

45-45-90 の三角形では、直角を挟む辺が 5 in (12.7 cm) なら、斜辺は 5√2 = 7.07 in (17.96 cm) です。斜辺が 5 の場合は逆に計算します: √2 で割ると、直角を挟む辺はそれぞれ 3.54 になります。45-45-90 の三角形は π/4 の倍数の三角関数の値を求めるのに使われ、sin(45°) と cos(45°) はどちらも √2/2 です。

3-4-5 の直角三角形

3-4-5 の三角形は最小のピタゴラス数で、鋭角は 36.87° と 53.13° です。辺が整数なので建築現場で直角を確認する標準的な方法として使われており、その方法は 3-4-5 の三角形の法則で解説しています。

5-12-13 の直角三角形

5-12-13 の三角形は2番目に小さいピタゴラス数で、鋭角は 22.62° と 67.38° です。辺は 25 + 144 = 169 を満たし、細長い形なので 3-4-5 の三角形では幅が広すぎる場所での墨出し作業に向いています。

ピタゴラス数を何倍しても直角は保たれます。3-4-5 を10倍すると 30-40-50、5-12-13 を2倍すると 10-24-26 になり、どちらも同じ鋭角を持つ直角三角形のままです。より詳しい一覧はピタゴラス数のガイドにあります。

直角三角形の幾何は、高さ、距離、角度を直接測らずに求める必要がある場面ならどこにでも登場します。日常的に頼っている分野は4つあります: 建築、工学、航海、住まいの手入れです。計算例は直角三角形の文章題にまとめています。

建築と設計

建築業者は、角を直角に合わせたり、屋根の勾配を決めたり、階段の側桁を切り出したりするのに直角三角形を使います。3-4-5 の方法を使えば、直角定規なしで枠を直角に合わせられます: 一方の辺に沿って 3 ft (0.91 m)、もう一方に沿って 4 ft (1.22 m) を測り、対角線がちょうど 5 ft (1.52 m) になるまで調整します。

屋根の勾配とは屋根の水平距離に対する立ち上がりの比で、垂木の長さはその三角形の斜辺です。水平距離 12 in あたり立ち上がり 6 in（305 mm あたり 152 mm）の場合、垂木は水平距離1フィートあたり √(6² + 12²) = 13.42 in、勾配の角度は arctan(6 / 12) = 26.57° になります。

工学と物理

技術者は直角三角形を使って、力や速度を互いに垂直な成分に分解します。水平から 35° 上向きに加えた 200 N の力は、水平成分 200 × cos(35°) = 163.8 N と垂直成分 200 × sin(35°) = 114.7 N に分解されます。

傾きの計算も同じ考え方です。1:12 の勾配で作った車いす用スロープは、水平距離 12 in ごとに 1 in（305 mm ごとに 25.4 mm）上がり、角度は arctan(1 / 12) = 4.76° です。

航海と測量

測量士は仰角や俯角を測り、それを高さや距離に換算します。塔から 50 m (164 ft) 離れた位置で仰角が 32° なら、塔の高さは目の高さから 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) です。

トラバース計算では、測量の各区間を正弦と余弦で南北成分と東西成分に分け、それらを合計します。パイロットや船乗りも同じ方法で、針路と距離を緯度と経度の変化に換算します。

DIY と住まいの手入れ

家庭での作業では、対角線が重要なときに直角三角形が役立ちます。長方形の対角線は2つの直角三角形の斜辺なので、40 in × 30 in (101.6 cm × 76.2 cm) の開口部の対角線は √(1600 + 900) = 50 in (127 cm) です。

枠、ウッドデッキ、タイル張りの床が直角になっているかを確かめる最も速い方法は、その対角線をもう一方の対角線と比べることです。対角線が等しければ角は直角です。直角三角形は、テレビの壁掛け金具の寸法、花壇の補強材、留め継ぎする見切り材の切断角度を決めるのにも使われます。