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インタラクティブな図形ソルバー

ç›´è§’ä¸‰è§’å½¢è¨ˆç® - æ©Ÿ

2つの値を入れれば、三角形のすべてがわかります。

æ - ¢çŸ¥ã®å€¤ã‚’2つ入力するだけで、直角三角形のすべて — 直角を挟む2辺、斜辺、2つの鋭角、面積、周長、高さ — ã‚’è¨ˆç® - だ- ます。入力に合わせて図が実寸比で描き直され、三角形自体をドラッグだ- て各測定値の変化を確かめることもできます。

リアルタイム図

実寸比で描画
リアルタイム図 a b c 90°

紫のハンドルをドラッグすると三角形の形を変えられます。矢印キーで1ステッム- ずつ微調整できます。

代表的な三角形を試す

入力だ- た測定値

単位
単位
単位
°
°
単位²
90°に固定

導出された結果

周長
- 単位
面積
- 単位²
高さ h
- 単位
内接円半径 r
- 単位
外接円半径 R
- 単位

è¨ˆç® - 機の使い方

  1. 1 わかっている値を入力する 任意の2つの値 — 2辺、1辺と鋭角、または1辺と面積 — を入力だ- ます。
  2. 2 è¨ˆç® - 結果をすべて読み取る 残りの辺、角度、導出量が、指定だ- た桁数に丸められて直ちに表示されます。
  3. 3 ドラッグだ- て確かめる 図のハンドルをつかんで三角形の形を変えると、数値がリアルタイムで追従だ- ます。

ã™ã¹ã¦ã®å€¤ã¯ãŠä½¿ã„ã®ãƒ–ãƒ©ã‚¦ã‚¶å†…ã§è¨ˆç® - されます。入力だ- た内容が送信・記録・保存されることは一切ありません。

ã“ã®è¨ˆç® - 機が求めるすべての値

答えを支える公式

直角三角形は、独立だ- た2つの測定値だけで決まります。その2つが与えられれば、他のすべての量は三平方の定理と基本的な三角比から導かれます。図の裏側で何が起きているのかを、ここで正確に説明だ- ます。

三平方の定理

c² = a² + b²

斜辺の2ä¹ - は、直角を挟む2辺それぞれの2ä¹ - の和に等だ- くなります。式を変形すれば、不明な辺が求められます: c = √(a² + b²)、a = √(c² − b²)、b = √(c² − a²)。

三角比

sin A = a / c · cos A = b / c · tan A = a / b

正弦は対辺÷斜辺、余弦は隣辺÷斜辺、正接は対辺÷隣辺です。逆関数（asin、acos、atan）を使えば、2辺から角度を求められます。

余角の関係

A + B = 90°

第3の角が直角であるため、2つの鋭角の和は常に90°になります。一方の鋭角がわかれば、もう一方も直ちに決まります。

面積と周長

Area = (a · b) / 2 · P = a + b + c

直角を挟む2辺は互いに垂直なので、そのまま底辺と高さとだ- て使えます。周長は3辺の長さの合計です。

斜辺への高さ

h = (a · b) / c

直角の頂点から斜辺に下ろだ- た垂線は、元の三角形と相似な2つの小さい三角形に分割だ- ます。

内接円半径と外接円半径

r = (a + b − c) / 2 · R = c / 2

直角三角形の外接円は、常に斜辺を直径とだ- ます。これはタレスの定理から直接導かれる性質です。

è¨ˆç® - の方法

ç›´è§’ä¸‰è§’å½¢è¨ˆç® - æ©Ÿ の仕組み

このソルバーは推測をだ- ません。入力された2つの値に対応する公式を正確に選び、そこから他のすべてを導きます。

  1. 1

    直近の2つの入力を記憶だ- ます

    直角三角形の自由度はちょうど2ã¤ã§ã™ã€‚è¨ˆç® - 機は最後に操作だ- た2つの入力欄をæ - ¢çŸ¥ã®çµ„とだ- て扱うため、最新の入力が常に反映されます。

  2. 2

    適切な公式を選びます

    2辺なら三平方の定理、1辺と角度なら正弦・余弦・正接、1è¾ºã¨é¢ç©ãªã‚‰åº•è¾ºã¨é«˜ã•ã®é–¢ä¿‚ã‚’ä½¿ã„ã¾ã™ã€‚ã„ãšã‚Œã®å ´åˆã‚‚é–‰ã˜ãŸå¼ã§è§£ã‘ã‚‹ãŸã‚ã€åå¾©è¨ˆç® - も近似も必要ありません。

  3. 3

    描画の前に検証だ- ます

    直角を挟む辺より短い斜辺、0以下の長さ、0°〜90°の範囲外の鋭角は、誤解を招く結果を返す代わりに明確なメッセージで拒否されます。

  4. 4

    実寸比で描き直だ- ます

    SVGの図は変更のたびに解いた三角形から作り直され、正だ- い比率が保たれます。だから3-4-5の三角形は、本当に3-4-5の形に見えます。

すべての処理はお使いのブラウザ内で完結だ- ます。入力だ- た測定値が送信されることは一切ありません。

参照データ

よく使われる直角三角形の一覧

ピタゴラス数と、ほぼすべての幾何の試験に登場する2つの特別な三角形です。バーは、表の中で最大の三角形に対する各三角形の面積比を示だ- ます。

代表的な直角三角形の辺、鋭角、面積の一覧表。
三角形 辺 a 辺 b 斜辺 角 A 角 B 面積 相対面積
3 – 4 – 5 3 4 5 36.87° 53.13° 6 3%
5 – 12 – 13 5 12 13 22.62° 67.38° 30 14%
8 – 15 – 17 8 15 17 28.07° 61.93° 60 29%
7 – 24 – 25 7 24 25 16.26° 73.74° 84 40%
20 – 21 – 29 20 21 29 43.6° 46.4° 210 100%
9 – 40 – 41 9 40 41 12.68° 77.32° 180 86%
45° – 45° – 90° ★ 10 10 14.14 45° 45° 50 24%
30° – 60° – 90° ★ 10 17.32 20 30° 60° 86.6 41%

ピタゴラス数を何倍だ- ても、やはりピタゴラス数になります。3-4-5を10倍だ- た30-40-50も、完全な直角三角形です。

代表的な角度の三角比

出会う機会の多い角度についての正弦・余弦・正接の値。

出会う機会の多い角度についての正弦・余弦・正接の値。
角度 sin cos tan
0° 0 1 0
30° 1/2 = 0.5 √3/2 ≈ 0.8660 √3/3 ≈ 0.5774
45° √2/2 ≈ 0.7071 √2/2 ≈ 0.7071 1
60° √3/2 ≈ 0.8660 1/2 = 0.5 √3 ≈ 1.7321
90° 1 0 ∞

質問

よくある質問

直角三角形を解くにあたって、最もよく寄せられる質問です。

直角三角形でいちばん長い辺は何と呼びますか。

直角三角形でいちばん長い辺は斜辺と呼びます。斜辺は90°の角の向かい側にあり、辺 c と表されます。その長さは直角を挟む2辺から c = √(a² + b²) とだ- て求まり、どの直角三角形でも辺 a や辺 b より長くなります。

直角三角形に対称の軸はいくつありますか。

直角三角形は二等辺の場合に対称の軸が 1 本あり、それ以外の場合は 0 本です。二等辺になるのは 45-45-90 の三角形で、斜辺以外の2辺の長さが等だ- く、対称の軸は直角の頂点から斜辺の中点へ引かれます。3-4-5 のような不等辺の直角三角形には対称の軸がありません。

直角三角形の斜辺はどうやって求めますか。

斜辺を求めるには、直角を挟む2辺の平方の和の平方根をとります: c = √(a² + b²)。2辺が3と4なら、c = √(9 + 16) = √25 = 5 です。2辺ではなく1辺と鋭角がわかっている場合は、c = a / sin(α) または c = b / cos(α) を使います。

直角三角形で2辺が等だ- くなることはありますか。

はい、直角三角形で2辺が等だ- くなることはあります。直角を挟む2辺が等だ- い場合、45-45-90 の直角二等辺三角形になり、斜辺は a√2、2つの鋭角はどちらも45°です。3辺すべてが等だ- くなることはありません。3辺が等だ- ければ3つの角がすべて60°になりますが、直角三角形には90°の角が必要だからです。

すべての直角三角形は相似ですか。

いいえ、直角三角形がすべて相似というわけではありません。2つの直角三角形が相似になるのは、鋭角が一致するとき、言い換えれば対応する2辺の比が等だ- いときだけです。30-60-90 の三角形と 45-45-90 の三角形はどちらも直角三角形ですが、辺の比が 1:√3:2 と 1:1:√2 で異なるため相似ではありません。

2つの値を入れれば、三角形のすべてがわかります。

あらゆる直角三角形を瞬時に解きます。æ - ¢çŸ¥ã®å€¤ã‚’2つ入力するだけで、すべての辺・角度・面積・周長・高さが、ドラッグ可能なリアルタイム図とともに求められます。

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