Grunder
Vad är en rätvinklig triangel?
En rätvinklig triangel är en triangel med en inre vinkel på exakt 90°. Vinkeln på 90° är den räta vinkeln, och sidan mittemot den är hypotenusan, den längsta av de tre sidorna.
En rätvinklig triangel har 3 sidor och 3 vinklar, namngivna enligt en konvention som den här räknaren och de flesta läroböcker delar:
- Sida a och sida b är kateterna, de två sidor som inte är hypotenusan och som möts i den räta vinkeln.
- Sida c är hypotenusan, sidan mittemot vinkel C.
- Vinkel A ligger mittemot sida a, vinkel B ligger mittemot sida b och vinkel C är 90°.
Många källor skriver de två spetsiga vinklarna som α (alfa) och β (beta), och använder θ (theta) för den vinkel som för tillfället diskuteras. Vinkel A och α betecknar samma mått, så en formel skriven med α fungerar oförändrad med vinkel A.
Figur 1: En rätvinklig triangels delar
Två regler gäller i varje rätvinklig triangel:
- De två spetsiga vinklarna är komplementvinklar, så vinkel A + vinkel B = 90°. De tre vinklarna summerar till 180° och vinkel C tar redan 90° av den summan.
- De tre sidorna uppfyller Pythagoras sats, a² + b² = c². Sambandet gäller även omvänt: en triangel där kvadraten på den längsta sidan är lika med summan av de två andra kvadraterna är rätvinklig.
En rätvinklig triangel är oliksidig när alla tre sidorna har olika längd, och likbent när de två kateterna är lika långa, vilket tvingar båda spetsiga vinklarna till 45°. Ingen rätvinklig triangel är liksidig, eftersom lika långa sidor kräver tre vinklar på 60°.
En rätvinklig triangel vars tre sidor alla är heltal är en pythagoreisk triangel, och de tre längderna bildar en pythagoreisk trippel, till exempel 3, 4, 5 eller 5, 12, 13.
Höjden h går från den räta vinkelns hörn vinkelrätt mot hypotenusan. Höjden delar den ursprungliga triangeln i 2 mindre trianglar, som är likformiga med varandra och med triangeln de kommer från.
Rätvinkliga trianglar är grunden för trigonometrin. Sinus, cosinus, tangens och cotangens definieras som förhållanden mellan sidlängderna i en rätvinklig triangel, och därför fungerar en räknare för sidor och vinklar i rätvinkliga trianglar även som ett verktyg för att beräkna trigonometriska funktioner.
Använda verktyget
Så använder du räknaren för rätvinkliga trianglar
- Välj en flik. Lös triangeln hanterar alla kombinationer av indata, Pythagoras sats begränsar fälten till de tre sidorna och Speciella trianglar skalar en 30-60-90- eller 45-45-90-triangel utifrån ett enda mått.
- Skriv det första kända värdet i dess fält: sida a, sida b, sida c, vinkel A, vinkel B eller arean.
- Skriv det andra kända värdet. Figuren ritas om skalenligt och alla återstående fält fylls i direkt.
- Läs av resultaten: de saknade sidlängderna, båda spetsiga vinklarna, arean, omkretsen, höjden, den inskrivna radien och den omskrivna radien.
- Dra i något av de violetta handtagen i figuren för att forma om triangeln, eller tryck på piltangenterna för ändringar ett steg i taget. Ställ in decimalreglaget på 0, 2, 4 eller 6 decimaler.
Det finns 6 kombinationer av indata som räknaren accepterar:
- två kateter: sida a och sida b
- en katet och hypotenusan: sida a och sida c, eller sida b och sida c
- en katet och en spetsig vinkel: sida a och vinkel A, eller sida b och vinkel B
- hypotenusan och en spetsig vinkel: sida c och vinkel A, eller sida c och vinkel B
- en katet och arean
- hypotenusan och arean
Två vinklar är det enda par som räknaren avvisar. Vinkel A och vinkel B bestämmer triangelns form men säger ingenting om dess storlek, så oändligt många trianglar uppfyller dem.
Sidlängder
Så hittar du den saknade sidan i en rätvinklig triangel
För att hitta den saknade sidan i en rätvinklig triangel använder du Pythagoras sats när två sidor är kända, eller ett trigonometriskt förhållande när en sida och en spetsig vinkel är kända. Det finns 3 utgångslägen, och vart och ett har sin egen formel.
Hitta hypotenusan med två sidor
För att hitta hypotenusan utifrån de två kateterna adderar du kateternas kvadrater och drar kvadratroten.
c = √(a² + b²)Formeln är Pythagoras sats omskriven för c. Att kvadrera en katet ger arean av en kvadrat byggd på den kateten, och de två mindre kvadraterna är tillsammans lika med kvadraten byggd på hypotenusan.
Figur 2: Pythagoras sats som areor
Räkneexempel
En katet på 3 in (7.62 cm) och en katet på 4 in (10.16 cm) ger en hypotenusa på 5 in (12.7 cm).
c = √(3² + 4²)c = √(9 + 16)c = √25 = 5 in Hitta en katet med hypotenusan och en sida
För att hitta en katet utifrån hypotenusan och den andra kateten subtraherar du den kända katetens kvadrat från hypotenusans kvadrat och drar kvadratroten.
a = √(c² - b²)b = √(c² - a²) Räkneexempel
En hypotenusa på 13 cm (5.12 in) och en katet på 5 cm (1.97 in) ger en andra katet på 12 cm (4.72 in).
b = √(13² - 5²)b = √(169 - 25)b = √144 = 12 cm Hypotenusan måste vara längre än båda kateterna. Ett värde på c som är mindre än eller lika med en känd katet ger ett negativt tal under rottecknet, och räknaren rapporterar konflikten i stället för att returnera ett värde.
Hitta en sida med en vinkel
För att hitta en sida utifrån en vinkel och en känd sida väljer du det trigonometriska förhållande som kopplar ihop dem. Det finns 6 formler, och vilken som gäller beror på vilken sida du har.
a = c × sin(α) · b = c × cos(α)a = b × tan(α) · b = a × tan(β)c = a / sin(α) · c = b / cos(α) Räkneexempel
En hypotenusa på 10 m (32.81 ft) med α = 30° ger båda kateterna direkt.
a = 10 × sin(30°) = 10 × 0.5 = 5 mb = 10 × cos(30°) = 10 × 0.8660 = 8.66 m Sinussatsen ger samma svar. I varje triangel gäller a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C), och i en rätvinklig triangel är sin(C) = sin(90°) = 1, vilket förenklar sinussatsen till c = a / sin(A). Trigonometri för rätvinkliga trianglar är genvägen, inte ett separat system.
Om du har arean och en katet i stället för en vinkel dividerar du dubbla arean med den kända kateten. En rätvinklig triangel är en oliksidig triangel där den ena kateten fungerar som bas och den andra som höjd, så formeln för triangelns area förenklas till area = a × b / 2, och b = 2 × area / a.
Vinklar
Så hittar du vinklarna i en rätvinklig triangel
För att hitta vinklarna i en rätvinklig triangel tillämpar du en invers trigonometrisk funktion på förhållandet mellan två kända sidor. Vinkel C är fast på 90°, så en enda beräkning avgör triangeln: den andra spetsiga vinkeln är komplementvinkeln till den första.
Givet β: α = 90° - βGivet α: β = 90° - α Vilken funktion du ska använda beror på vilka två sidor du känner till. De tre grundläggande förhållandena namnges utifrån den vinkel du söker, och det är det som SOHCAHTOA betyder: sinus är motstående genom hypotenusan, cosinus är närliggande genom hypotenusan, tangens är motstående genom närliggande.
Figur 3: Namn på sidorna utifrån en vinkel
Hitta en vinkel med sinus
För att hitta en vinkel utifrån den motstående sidan och hypotenusan dividerar du den motstående sidan med hypotenusan och tar invers sinus (arcsin).
sin(α) = a / c → α = arcsin(a / c)sin(β) = b / c → β = arcsin(b / c) Räkneexempel
En sida a på 5 och en hypotenusa c på 13 ger en vinkel α på 22.62°.
sin(α) = 5 / 13 = 0.3846α = arcsin(0.3846) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Hitta en vinkel med cosinus
För att hitta en vinkel utifrån den närliggande sidan och hypotenusan dividerar du den närliggande sidan med hypotenusan och tar invers cosinus (arccos).
cos(α) = b / c → α = arccos(b / c)cos(β) = a / c → β = arccos(a / c) Räkneexempel
En sida b på 12 och en hypotenusa c på 13 ger samma vinkel α på 22.62°.
cos(α) = 12 / 13 = 0.9231α = arccos(0.9231) = 22.62° Hitta en vinkel med tangens
För att hitta en vinkel utifrån de två kateterna dividerar du den motstående kateten med den närliggande kateten och tar invers tangens (arctan). Tangens är förhållandet att ta till när hypotenusan är okänd, eftersom det använder de två sidor som inte är hypotenusan.
tan(α) = a / b → α = arctan(a / b)tan(β) = b / a → β = arctan(b / a)cot(α) = b / a → α = arccot(b / a)cot(β) = a / b → β = arccot(a / b) Räkneexempel
Kateter på 5 och 12 ger en vinkel α på 22.62° och en vinkel β på 67.38°.
tan(α) = 5 / 12 = 0.4167α = arctan(0.4167) = 22.62°β = arctan(12 / 5) = arctan(2.4) = 67.38° Invers sinus, invers cosinus, invers tangens och invers cotangens ger alla samma vinkel för samma triangel. Välj den vars två sidor du redan har, så kontrollerar räknaren värdet mot de andra förhållandena. För regeln om hur du väljer i detalj, se SOHCAHTOA förklarat, och för själva metoden att hitta vinklar, se hitta en vinkel med invers trigonometri.
| Triangel | Katet a | Katet b | Hypotenusa | Vinkel A | Vinkel B | Area | Relativ area |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Varje multipel av en pythagoreisk trippel är själv en trippel - skala 3-4-5 med tio och 30-40-50 är fortfarande en perfekt rätvinklig triangel.
Trigonometriska förhållanden för standardvinklarna
Värden för sinus, cosinus och tangens för de vinklar du oftast möter.
| Vinkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Fullständiga lösningar
Så löser du en rätvinklig triangel
Att lösa en rätvinklig triangel innebär att ta fram alla 6 måtten (3 sidor och 3 vinklar) utifrån 2 kända värden. Vinkel C är redan känd som 90°, vilket lämnar 5 okända och 2 ledtrådar.
Lösa en rätvinklig triangel med två sidor
För att lösa en rätvinklig triangel utifrån två sidor går du igenom tre steg i ordning.
- Hitta den tredje sidan med Pythagoras sats.
- Hitta vinkel A med en invers trigonometrisk funktion av två kända sidor.
- Hitta vinkel B som 90° minus vinkel A.
Räkneexempel
En hypotenusa på 13 in (33.02 cm) och en katet a på 5 in (12.7 cm) löses fullständigt:
b = √(13² - 5²) = √144 = 12 inα = arcsin(5 / 13) = 22.62°β = 90° - 22.62° = 67.38° Triangeln är 5, 12, 13 med vinklarna 22.62°, 67.38° och 90°.
Lösa en rätvinklig triangel med en sida och en vinkel
För att lösa en rätvinklig triangel utifrån en sida och en spetsig vinkel hittar du först den andra vinkeln och använder sedan ett trigonometriskt förhållande för varje saknad sida.
- Subtrahera den kända spetsiga vinkeln från 90° för att få den andra spetsiga vinkeln.
- Multiplicera eller dividera den kända sidan med sinus, cosinus eller tangens för att få varje saknad sida.
- Kontrollera resultatet med Pythagoras sats.
Räkneexempel
En hypotenusa på 10 m (32.81 ft) och en vinkel α på 30° löses fullständigt:
β = 90° - 30° = 60°a = 10 × sin(30°) = 5 mb = 10 × cos(30°) = 8.66 mkontroll: 5² + 8.66² = 25 + 75 = 100 = 10² Kan man lösa en rätvinklig triangel med bara en sida?
Nej, en sida ensam räcker inte för att lösa en rätvinklig triangel. En enda längd bestämmer triangelns skala men lämnar formen öppen, så oändligt många rätvinkliga trianglar delar den sidan. Kombinera sidan med en av de vinklar som inte är räta, så blir triangeln lösbar på 6 sätt:
- Multiplicera hypotenusan med sin(θ) för att få längden på sidan mittemot vinkeln.
- Multiplicera hypotenusan med cos(θ) för att få sidan närliggande vinkeln.
- Dividera den närliggande sidan som inte är hypotenusan med cos(θ) för att få hypotenusan.
- Multiplicera den närliggande sidan med tan(θ) för att få sidan mittemot vinkeln.
- Dividera den motstående sidan med sin(θ) för att få hypotenusan.
- Dividera den motstående sidan med tan(θ) för att få sidan närliggande vinkeln.
En sida och arean fungerar också som par. Ange båda i räknaren så följer den andra kateten ur area = a × b / 2, och hypotenusan följer sedan ur Pythagoras sats.
Härledda värden
Mått i en rätvinklig triangel
En löst rätvinklig triangel ger 5 härledda mått utöver sidor och vinklar: area, omkrets, höjd, inskriven radie och omskriven radie. Räknaren redovisar alla 5 tillsammans med sidlängderna.
Arean av en rätvinklig triangel
För att hitta arean av en rätvinklig triangel multiplicerar du de två kateterna och dividerar med 2. Kateterna är vinkelräta, så den ena fungerar som bas och den andra som höjd.
area = (a × b) / 2area = (c × h) / 2 En triangel med kateterna 6 cm (2.36 in) och 8 cm (3.15 in) täcker 24 cm² (3.72 in²). Den andra formen använder hypotenusan som bas och höjden som höjd, och ger exakt samma värde.
Omkretsen av en rätvinklig triangel
För att hitta omkretsen av en rätvinklig triangel adderar du de tre sidlängderna.
P = a + b + cEn 3-4-5-triangel mätt i fot har en omkrets på 12 ft (3.66 m). Om du bara har de två kateterna beräknar du hypotenusan först, eftersom omkretsen kräver alla tre sidorna.
Höjden i en rätvinklig triangel
Höjden i en rätvinklig triangel är det vinkelräta avståndet från den räta vinkelns hörn till hypotenusan. Multiplicera kateterna och dividera med hypotenusan.
h = (a × b) / cHöjden delar hypotenusan i två delsträckor, p och q, och skapar två mindre trianglar som är likformiga med den ursprungliga. Tre samband med geometriskt medelvärde följer av den likformigheten, och de beskrivs i sin helhet i guiden om höjdsatsen för rätvinkliga trianglar.
h² = p × qa² = p × cb² = q × c Figur 4: Höjden och dess två delsträckor
Inskriven och omskriven radie
Den inskrivna radien r är radien för den största cirkel som ryms inuti triangeln, och den omskrivna radien R är radien för cirkeln genom alla tre hörnen.
r = (a + b - c) / 2R = c / 2 Den omskrivna radien i en rätvinklig triangel är alltid halva hypotenusan, eftersom hypotenusan är en diameter i den omskrivna cirkeln. En 3-4-5-triangel har en inskriven radie på 1 och en omskriven radie på 2.5.
- Area
- 6
- Omkrets
- 12
- Höjd
- 2.4
- Inskriven radie
- 1
- Omskriven radie
- 2.5
De fem härledda måtten för en rätvinklig 3-4-5-triangel.
Referens
Speciella rätvinkliga trianglar
Det finns 4 rätvinkliga trianglar som är värda att lära sig utantill: 30-60-90-triangeln, 45-45-90-triangeln, 3-4-5-triangeln och 5-12-13-triangeln. De två första har fasta vinklar och fasta sidförhållanden, och de två sista är pythagoreiska tripplar med heltalssidor. Guiden om speciella rätvinkliga trianglar jämför de två första sida vid sida.
30-60-90-triangel
30-60-90-triangeln har sidor i förhållandet 1 : √3 : 2. Den kortaste sidan ligger mittemot vinkeln på 30°, den mellersta sidan ligger mittemot vinkeln på 60°, och hypotenusan ligger mittemot den räta vinkeln och är exakt dubbelt så lång som den kortaste sidan.
Figur 5: 30-60-90-triangel
Känner du en sida i en 30-60-90-triangel bestäms de två andra. En kort katet på 5 cm (1.97 in) ger en lång katet på 5√3 = 8.66 cm (3.41 in) och en hypotenusa på 10 cm (3.94 in). Triangeln används för att beräkna trigonometriska funktioner för multiplar av π/6, och det är därifrån de exakta värdena sin(30°) = 1/2 och cos(30°) = √3/2 kommer.
45-45-90-triangel
45-45-90-triangeln har sidor i förhållandet 1 : 1 : √2. Båda kateterna är lika långa, vilket gör den till den likbenta rätvinkliga triangeln och ger den 1 symmetrilinje.
Figur 6: 45-45-90-triangel
I en 45-45-90-triangel ger en katet på 5 in (12.7 cm) en hypotenusa på 5√2 = 7.07 in (17.96 cm). En hypotenusa på 5 fungerar åt andra hållet: dividera med √2 för kateter på 3.54 vardera. 45-45-90-triangeln används för att beräkna trigonometriska funktioner för multiplar av π/4, där sin(45°) och cos(45°) båda är lika med √2/2.
Rätvinklig 3-4-5-triangel
3-4-5-triangeln är den minsta pythagoreiska trippeln, med de spetsiga vinklarna 36.87° och 53.13°. Heltalssidorna gör den till standardmetoden för att kontrollera ett rätvinkligt hörn på en byggarbetsplats, en metod som beskrivs i 3-4-5-regeln.
Figur 7: 3-4-5-triangel på ett rutnät
Rätvinklig 5-12-13-triangel
5-12-13-triangeln är den näst minsta pythagoreiska trippeln, med de spetsiga vinklarna 22.62° och 67.38°. Dess sidor uppfyller 25 + 144 = 169, och den smala formen passar utsättningsarbete där en 3-4-5-triangel är för bred för utrymmet.
Figur 8: 5-12-13-triangel
Att skala en trippel behåller den räta vinkeln. Multiplicera 3-4-5 med 10 för 30-40-50, eller 5-12-13 med 2 för 10-24-26, så förblir båda rätvinkliga trianglar med samma spetsiga vinklar. En utförligare referenslista finns i guiden om pythagoreiska tripplar.
| Triangel | Katet a | Katet b | Hypotenusa | Vinkel A | Vinkel B | Area | Relativ area |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 – 4 – 5 | 3 | 4 | 5 | 36.87° | 53.13° | 6 | 3% |
| 5 – 12 – 13 | 5 | 12 | 13 | 22.62° | 67.38° | 30 | 14% |
| 8 – 15 – 17 | 8 | 15 | 17 | 28.07° | 61.93° | 60 | 29% |
| 7 – 24 – 25 | 7 | 24 | 25 | 16.26° | 73.74° | 84 | 40% |
| 20 – 21 – 29 | 20 | 21 | 29 | 43.6° | 46.4° | 210 | 100% |
| 9 – 40 – 41 | 9 | 40 | 41 | 12.68° | 77.32° | 180 | 86% |
| 45° – 45° – 90° ★ | 10 | 10 | 14.14 | 45° | 45° | 50 | 24% |
| 30° – 60° – 90° ★ | 10 | 17.32 | 20 | 30° | 60° | 86.6 | 41% |
Varje multipel av en pythagoreisk trippel är själv en trippel - skala 3-4-5 med tio och 30-40-50 är fortfarande en perfekt rätvinklig triangel.
Trigonometriska förhållanden för standardvinklarna
Värden för sinus, cosinus och tangens för de vinklar du oftast möter.
| Vinkel | sin | cos | tan |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 = 0.5 | √3/2 ≈ 0.8660 | √3/3 ≈ 0.5774 |
| 45° | √2/2 ≈ 0.7071 | √2/2 ≈ 0.7071 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0.8660 | 1/2 = 0.5 | √3 ≈ 1.7321 |
| 90° | 1 | 0 | ∞ |
Tillämpningar
Rätvinkliga trianglar i verkligheten
Geometri för rätvinkliga trianglar dyker upp överallt där en höjd, ett avstånd eller en vinkel måste räknas ut utan att mätas direkt. Det finns 4 områden som förlitar sig på den dagligen: byggande, teknik, navigation och hemförbättring. Genomräknade fall finns samlade i textuppgifter om rätvinkliga trianglar.
Figur 9: Tre rätvinkliga trianglar i vardagen
Byggande och arkitektur
Byggare använder rätvinkliga trianglar för att få hörn i vinkel, bestämma taklutning och såga trappvangar. 3-4-5-metoden ger en rätvinklig ram utan vinkelhake: mät 3 ft (0.91 m) längs den ena kanten, 4 ft (1.22 m) längs den andra och justera tills diagonalen mäter exakt 5 ft (1.52 m).
Taklutning är takets höjning genom dess horisontella längd, och takstolens längd är hypotenusan i den triangeln. En höjning på 6 in per 12 in längd (152 mm per 305 mm) ger en takstol på √(6² + 12²) = 13.42 in per fot längd och en lutningsvinkel på arctan(6 / 12) = 26.57°.
Teknik och fysik
Ingenjörer delar upp krafter och hastigheter i vinkelräta komposanter med hjälp av rätvinkliga trianglar. En kraft på 200 N som verkar 35° över horisontalplanet delas upp i en horisontell komposant på 200 × cos(35°) = 163.8 N och en vertikal komposant på 200 × sin(35°) = 114.7 N.
Lutningsberäkningar följer samma mönster. En rullstolsramp byggd med lutningen 1:12 stiger 1 in för varje 12 in längd (25.4 mm per 305 mm), vilket motsvarar en vinkel på arctan(1 / 12) = 4.76°.
Navigation och lantmäteri
Lantmätare mäter en höjdvinkel eller sänkningsvinkel och omvandlar den till en höjd eller ett avstånd. Står du 50 m (164 ft) från ett torn med en höjdvinkel på 32° når tornet 50 × tan(32°) = 31.24 m (102.5 ft) över ögonhöjd.
Polygonberäkning delar upp varje mätsträcka i nord-sydliga och öst-västliga komposanter med sinus och cosinus, och summerar dem sedan. Piloter och sjöfarare använder exakt samma metod för att omvandla en kurs och ett avstånd till en ändring i latitud och longitud.
Gör det själv och hemförbättring
Hemprojekt behöver rätvinkliga trianglar när en diagonal spelar roll. Diagonalen i en rektangel är hypotenusan i två rätvinkliga trianglar, så en öppning på 40 in gånger 30 in (101.6 cm gånger 76.2 cm) har en diagonal på √(1600 + 900) = 50 in (127 cm).
Att jämföra den diagonalen med den andra diagonalen är det snabbaste sättet att kontrollera att en ram, ett trädäck eller ett kaklat golv är rätvinkligt. Lika långa diagonaler betyder räta hörn. Rätvinkliga trianglar används också för att dimensionera ett väggfäste för TV, ett stag till en odlingsbädd och kapvinkeln på en geringssågad list.
Frågor